简单模型固有频率问题

Raspberry · 发表于 2015-10-15 22:05

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系统为一质量m连接在刚性杆上，杆的质量忽略不计。这个系统的固有频率应该怎么算呢？》

欧阳中华 · 发表于 2015-10-16 08:33

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这个问题应该属于二个自由度问题，可以设质点平动和转动二个自由度建立动力方程求解. ..

Raspberry · 发表于 2015-10-22 10:11

欧阳中华发表于 2015-10-16 08:33
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这个问题应该属于二个自由度问题，可以设质点平动和转动二个自由度建立动力方程求解. ..

转动这个自由度应该怎么考虑，好像没有转动惯量啊

dujunmin · 发表于 2015-10-23 20:34

如果弹簧仅仅可以承受拉伸载荷的作用，那么就是单自由度问题。刚度是两个弹簧刚度之和，质量是m。

Raspberry · 发表于 2015-10-30 07:48

dujunmin 发表于 2015-10-23 20:34
如果弹簧仅仅可以承受拉伸载荷的作用，那么就是单自由度问题。刚度是两个弹簧刚度之和，质量是m。

按你的说法，振动过程中两弹簧的拉伸长度假设是一样的，但实际中他们是一致的吗？

hcharlie · 发表于 2015-10-30 08:27

本帖最后由 hcharlie 于 2015-11-4 20:54 编辑

这是个单自由度问题。
解决思路：在质量m加单位力，将力分解到两端，算出各点的位移，再算出m点的位移，求倒数刚度就有了，频率也就有了。
我粗算的结果，圆频率=sqrt( L*L*K1*K2 /( m*(L1*L1*K1+L2*L2*K2) ) )
特例：
当L1=0时K2不起作用，为sqrt(K1/m);
当L2=0时K1不起作用，为sqrt(K2/m);
当L1=L2，K1=K2=K，则为sqrt(2*K/m);

yejet · 发表于 2015-10-30 10:31

力的平衡方程
力矩平衡方程
再加上几何方程
约简之后应该就可以求解固有频率了

billions1943 · 发表于 2015-10-30 11:43

有遇到类似楼主的问题，136620990 来讨论呢！

yejet · 发表于 2015-11-4 09:06

本帖最后由 yejet 于 2015-11-4 09:10 编辑

三个方程可以写为：
\begin{matrix}
m\ddot{x}+K_{1}x_{1}+K_{2}x_{2}=0
\\
K_{1}x_{1}L_{1}=K_{2}x_{2}L_{2}
\\
x_{1}+x_{2}=2x
\end{matrix}
整理后方程可以写成：
m\ddot{x}+K_{1}\frac{2 K_{2} L_{2} x}{K_{1} L_{1}+K_{2} L_{2}}+K_{2}\frac{2 K_{1} L_{1} x}{K_{1} L_{1}+K_{2} L_{2}}=0
m\ddot{x}+2 K_{1} K_{2} \frac{L_{1} + L_{2}}{K_{1} L_{1}+K_{2} L_{2}} x=0

所以固有频率应该为：
f= \sqrt \frac{2 K_{1} K_{2}(L_{1} + L_{2})}{m(K_{1} L_{1}+K_{2} L_{2})}

yejet · 发表于 2015-11-4 09:11

hcharlie 发表于 2015-10-30 08:27
这是个单自由度问题。
解决思路：在质量m加单位力，将力分解到两端，算出各点的位移，再算出m点的位移，求 ...

我的计算结果和你的不太一样

hcharlie · 发表于 2015-11-4 11:08

yejet 发表于 2015-11-4 09:11
我的计算结果和你的不太一样

我计算特例L1=0时为sqrt(K1/m);
你的结果当L1=0时为sqrt(2*K1/m);
应该是我的对。

yejet · 发表于 2015-11-4 11:33

本帖最后由 yejet 于 2015-11-4 12:18 编辑

hcharlie 发表于 2015-11-4 11:08
我计算特例L1=0时为sqrt(K1/m);
你的结果当L1=0时为sqrt(2*K1/m);
应该是我的对。

仔细考虑了一下，我觉得你这个特例本身是有问题的
在这个特例的基础上进一步假定L=0，此时计算结果应该是sqrt(2*K1/m)，而不是你说的sqrt(K1/m);

yejet · 发表于 2015-11-4 12:19

hcharlie 发表于 2015-11-4 11:08
我计算特例L1=0时为sqrt(K1/m);
你的结果当L1=0时为sqrt(2*K1/m);
应该是我的对。

下午我找时间在研究一下你这个特例的问题所在

Raspberry · 发表于 2015-11-4 21:02

谢谢大家的讨论，受益匪浅，但是哪个是对的呢？谢谢

hcharlie · 发表于 2015-11-5 08:36

本帖最后由 hcharlie 于 2015-11-5 16:09 编辑

yejet 发表于 2015-11-4 09:06
三个方程可以写为：

你的思路是对的。但 x1+x2=2X 方程是有问题的，只有当L1=L2时才成立，所以你的结论也只有在L1=L2时才正确。
你的方程应该写成：x=x1+(x2-x1)*L1/L
化简后：x=(x1*L2+x2*L1)/L
我就用到过这个式子。

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[线性振动] 简单模型固有频率问题

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