物理之摆与混沌【转】
在物理实验中,最简单的实验莫过于单线扭摆实验了.在一个支架上悬一钢丝,钢丝的另一头固定在金属圆盘的中心点上.,这个扭摆实验装置就算成了.若用手在圆盘上扭转一个角度,放手之后,由于钢丝的扭转形变,必然产生恢复力矩,致使圆盘作周而复始的扭摆运动.我们从如此简单的物理现象中,利用刚体转动定律和微分方程便可推导出周期T、频率f、和摆角θ的量值.其严密且美妙的数学形式足以让人惊叹不已.回顾物理学的发展历史可知;伽利略是世界上第一个定量得研究摆动现象的,他通过观察比萨教堂中吊灯的摇摆,得出了周期定律.惠更斯利用摆长和重力加速度之间的恒比关系,制造出了世界上第一台钟表,这使得西方科技文明跨进一个崭新的历史阶段.一个极简单的物理现象背后竟然包含着如此深奥的智慧.科学发展到今天,人们对摆动的研究并没有停止,特别是60年代以后,由于非线性科学和复杂性的研究,异军突起的混沌学,便是这个学科最显著的成就之一,而对于不简单的单摆运动之研究,更加引人注目.这不得不引发我作一翻思考.对非线性科学孕育出的混沌学理论所作的思考:纵观人类历史和科学技术的发展,大到天体演化、地球的变迁,小至物质的构成、生命的起源.无不涉及到大量粒子所组成的复杂系统的成因与演变.无论宇宙或是生命,物质世界都经历着从无组织的混乱状态向不同程度的有组织状态的演变,实现着从无序到有序、从简单到复杂的蜕变过程.以量子力学和相对论为标志的20世纪物理学革命,使人们从微观和宏观两个认识维度上对自然奥秘的了解,都达到了前所未有的高度.即使对于生命和意识这个没有止境的探究过程的认知上,也取得了长足进展.特别是60年代计算机的出现,其广泛的应用同物理学理论、实验手段相结合,人们从总体上认识到了自然所发生的这些复杂现象,为找出基本规律奠定了坚实的基础,从而促进了非线性科学和复杂性研究这门学科的产生.随着该学科的发展和深入,许多悬而未解的基本难题,诸如确定性描述和概率性描述之间的关系、湍流发生的机制问题、自然界中有序和无序转化的条件等,都有了新的认识,并开始影响着人类的自然观,促使人们应当从事物的总体联系的角度上,去探索、把握自然以及社会的复杂运动形式,从而全面、客观得处理所面对的所有问题.
那么什么是非线性科学呢?本来线性和非线性是个数学的专用名词.所谓线性是指自变量与因变量之间存在的一种正比关系,若用直角坐标系表示出来就是一条直线.在线性系统中,部分之和等于整体,描述线性系统的方程遵循叠加原理,也就是说方程的不同解加起来仍然是方程的解.然而对于非线性来说,则整体并不等于部分之和,非线性方程的两个解之和不再是方程的解,叠加原理失效.对于处理线性的问题,人们已经有了一套行之有效的办法,如付里叶变换、拉普拉斯算子等,但对于处理非线性的问题,科学家们常常束手无策.只能是具体问题具体分析具体对待,并无统一方法可循.
而在物理界的线性和非线性区分一般有三个特征:其一从运动形式上有着定性之别;线性运动一般表现为时空中的平滑运动,运动形态的抽象可用性能良好的数学方程来表征.非线性运动现象却表现出由规则运动向不规则运动的转化和跃变;其二从系统对外界影响和系统参量微小变动的响应上来区分.线性系统的响应平缓、光滑,往往表现为该系统对外界的刺激成比例的变化.而非线性系统在对外激励的相应上,特别是在一些关键点上,某些极微小的参数改变,都会引起与外界激励有本质区别的反应.如周期驱动的非线性振动系统,在有外界扰动时,可出现驱动频率的分频、倍频等运动形式,而不仅仅是重复外界频率;其三反映在连续介质中的波动上.对线性系统来说,表现为色散引起的波包弥散、结构的消失,而非线性系统对波动的反应,却可促使空间规整性结构的形成和维持,如孤子、涡旋、突变面等.在自然界中大量存在的相互作用都是非线性的,线性作用其实只不过是非线性作用在一定条件下的近似而已.
由于在科学研究、生活实践乃至社会活动中,所面对的非线性问题、非线性方程,其“个性很强”,往往只能对具体问题作具体分析,而没有一套相对固定的方式与之应对.虽然历史上曾有过一些求解非线性方程的例证,但与大量存在的非线性方程相比,只能算是沧海一粟.所以对于非线性问题的研究,长期以来一直分散于各个学术研究领域之中.
20世纪60年代以来,情况发生了戏剧性的变化,从非线性科学的两个极端同时获得了突破.一方面从非线性系统可积的一端出发,在研究无穷多自由度的非线性偏微分方程时,在浅水波方程中发现了“孤子”.由此发展出了一套系统的数学方法,对一些不同种类的非线性方程给出了不同套路的解法;反之,从非线性系统的另一端不可积出发,在研究天文学、气象学、生态学等领域时,在一些看起来相对简单的不可积系统的研究中发现了“混沌运动”.其特点就是在确定性系统中存在着对初值极为敏感的现象.这个现象的发现完全有赖于应用计算机辅助设计而产生的“计算物理”和“实验数学”这两门新型学科的支撑.计算机作为科学工作者的研究手段,使得他能以它山之石可以攻玉,向以往用解析手段不能处理的问题大踏步挺进,从而对许多非线性问题的破解大大推进了一步.从非线性系统的共性、和普适性的角度去探索各种问题,由此获得了规律性认识,因此就形成了贯穿信息科学、生命科学、空间科学、地球科学和环境科学等领域的主线.可以说解析、计算和实验三种手段并用是非线性科学的三大法宝.有了这三大法宝,对研究复杂世界的非线性问题就有了技术保障.复杂系统中的相干结构、孤子的发现,实质上就是非线性问题相互作用的结果.为此有必要对复杂系统作一些定性的认识.
湍动的大气环流、奔腾的江海河流、被磁场束缚着的高温电离气层以及大量原子结合而形成的固体等,都是典型的复杂系统.若要认真观察这些系统中的运动状态,就会发现,除了人们预料之中的急剧变动的复杂运动状态外,还会有与之运动共存着的在空间局域、时间段内持续很长的规整性的结构,也就是相干结构.而孤子就是一种特殊的相干结构.早在1834年,英国有个叫罗素的工程师在观察一条木船在运河中运动时,偶然看到摇荡的船头突然涌起一个高约半米、长达 10米左右的浪头,在木船猛然停止后,这个浪头竟然保持住自己的这种形状,以每小时13公里的速度向前传播,罗素急忙上岸,骑马追逐了3公里之外,浪头才消散.罗素把这个浪头称为“孤波”,并且认为是流体力学方程的一个解.十年后,当他向英国科学促进会报告自己的观点时,却引起了几十年的争论不休,直到1895年,由两位数学家科特维格和德佛里斯导出了著名的浅水波KdV方程,并给出了一个类似于罗素提出的“孤波”的解析式的解,这个争论才算结束.这件事情发生过后,逐渐被人遗忘.孤波被重新提起并被命名为“孤子”,是本世纪60年代电子计算机广泛应用之后的成果.首先进行这种探索的是物理学家费米和他的两名同事,从1952年开始,他们利用美国设计氢弹用的Maniac计算机,对由64个谐振子组成、振子间存在着微弱的非线性相互作用的这种系统进行计算,企图证实统计物理学中的“能量均分定律”.1955年完成的研究表明,结果与预期相反,初时集中在某一振子上的能量,随着时间的演化并不将能量均分到其它振子上去,而是出现了奇怪的“复归”现象.并且每经过一段“复归时间”,能量又回到原来的振子上.这一奇异的结果引起了贝尔公司一批科学家的注意,他们把这一现象经过一系列的近似,发现费米等人的振子系统可以看作KdV方程的极限状态,可以用这个方程的“孤波解”来解释初始能量的复归现象.更重要是,他们通过计算机实验;发现两个不同速度运动的孤波相遇碰撞之后,仍然保持形状不变,具有出奇的稳定性,如同刚性的粒子一般.于是他们将这种非线性方程的“孤波解”称为“孤子”.1965年以后,除了已发现的浅水波方程KdV之外,相继又发现了另一些非线性偏微分方程也有“孤子”解.从而总结归纳出一套系统方法—“反散射法”.也就找到了一种解非线性方程的普遍解法.计算机模拟实验、解析方法同发现的孤子相结合,迅速在固体物理、等离子体物理以及光学中也找到了孤子.这些看起来似乎是纯数学的发现,不仅仅为实验所证实,而且还找到了实际的应用途径.比如在光纤通信中,由于传输信息的低强度光脉冲易于色散变形,不仅传输的信息量少,信号质量差,而且要在传输线上每隔一定距离都要加设波形重复器,增加了运行成本.70年代从理论上首先发现了“光学孤子”,它完全可以克服光纤通信中存在的这一缺点,现已投入了实际应用.
孤子现象只所以产生,从本质上讲,孤子只是一维空间上的一种特殊相干结构,它只所以能够长期局域化,是由于系统中的色散与非线性两种作用互相平衡的结果.孤子出现的稳定性与这些非线性系统具有无穷多守恒定律密切相关.在复杂性研究中,除了孤子之外,自然界还存在着大量的其它相干结构,最引人注目的莫过于各种尺度下的涡旋,大者如木星上直径为4万公里的大红斑,小者如只有几个纳米尺寸的晶体中的电荷密度波.它们与孤子的相似之处在于空间上局域,时间上长寿,形式上稳定.不同之处在于它们相互作用时并不严格保持形状不变,而是可以汇合、分裂,几个流体涡旋可以汇集成一个大涡旋,一个大涡旋也可以在外力作用下被打破.目前对这些结构形成的机理以及相互作用的探索,仍然是非线性科学和复杂性研究的前沿.当前对于木星红斑的研究,通过大量的计算机模拟实验,已对红斑的形成机理有了较深的了解.一般而言,孤子和其它的相干结构都存在于用连续介质或流体方程来描述的系统中,与平面摆只有几个自由度的动力系统相比,流体系统实际是一个具有无穷多自由度的复杂系统.也正是在这个无穷多维的系统中,才能形成结构规整,、形式稳定的孤子和涡旋,这正是非线性系统相互作用的非常之处.
与非线性作用在无穷多自由度的复杂系统中可以促成规整性的孤子发现相呼应,非线性科学在最近20年来,又从另一个极端向人们展示了在微观和宏观层次上,由确定性方程描绘的简单系统可以出现极为复杂的、貌似无规则的混沌运动.简单的原因可以导致复杂后果,反之,许多看起来杂乱无章、随机起伏的时间变化和空间图案,却来自某种极简单而确定的重复运动,这就是混沌研究所提供的一条重要信息。对于同一个自然界来说,它有不同的的表述方式,物理科学就有着不同于其它学科的表述方式.归纳起来就是决定性描述和概率性描述.从牛顿创立的经典力学至20世纪20年代为止,决定论表述长期占主导地位,而基于概率论的统计表述方式只不过是一种辅助手段.牛顿在他1687年出版的“自然哲学的数学原理”一书中,完整地表达了他的绝对时空观、运动三定律和万有吸引定律,并演绎推导出了开普勒行星运动三定律.在1799—1827年间拉普拉斯出版的“天体力学”巨著中,他运用牛顿力学计算出的太阳系行星及其卫星轨道的精度,臻于精微.拉普拉斯甚至宣称,只要给出“初始条件”,就可预言太阳系的整个未来.在当时的科学界,普遍认为:应用牛顿所发现的诸多定律,宇宙目前的状况原则上也就决定了它今后的发展.这种机械决定论的观点由海王星的发现而达到了登峰造极的程度.就在决定论取得了辉煌成就的同时,蒸气机和内燃机的发展把对气体性质的研究推向了风头浪尖.科学家们使用温度、压力、体积这些宏观概念,寻求它们之间的经验公式,终于建立起了热力学体系.与此同时,流体力学的方程组,也由类似的宏观变量建立起来.基于大量实验事实的热力学定律,起着宏观世界根本大法的作用.然而为了从大量原子、分子运动和相互作用的关系出发,推导出气体的宏观性质或流体力学方程,就必须引入这些粒子的位置、速度分布的概率假设,这就要用到统计的方法.所以“概率性”这个概念就显得十分重要了.在19世纪末的物理学里,除了那些后来导致相对论和量子力学的基本矛盾外,还在不同层次上隐含着没有解决的关于决定性和概率性取舍的重大问题.比如描述三个以上天体运动方程组的“不可积分”性,也不能用解析的方式求解;统计物理学的基础问题;湍流的发生机制及其描述问题;太阳系能否永远稳定运行等问题,用决定性的描述方式是很难解决的.到了20世纪初,相对论和量子力学的成功崛起,加之接踵而来的新技术发展以及两次世界大战对军事技术的需求,吸引了绝大多数物理学家投身其中,无暇顾及对以上出现的问题进行深入探究,所以就把这些难题留给了数学家们潜心研究了.
如果说决定性和概率性描述之间的矛盾动摇了牛顿力学占主导地位的机械决定论,那么牛顿力学的另一个软肋—即牛顿力学的内秉随机性更加显示了他的局限性.可积性与不可积性这种解析算法,反应在质点分部上,这也彰显了物质内部结构的连续与不连续性,然而在一切可能的力学体系中,到底有多少“不可积分”的呢?20世纪40年代数学家西格尔等人给出了答案:不可积分的系统俯拾即是,多不胜数,而可积可解的力学问题,却稀若晨星,寥寥无几.传统的大学物理学教科书中对力学部分的描述那真是挂一漏万,似乎力学内在的连续性无处不在,任一物体都可在内部取一面元或体积元利用其连续性都可用积分求出整个部分.熟不知那只是自然界中一种理想的抽象.在真实的自然世界里,这是非常罕见的.但是,话又说回来,“不可积分”的力学系统的运动图像又是怎样的呢? 这可是个极为困难的数学问题.直到KAM定理出现以后,对这个问题的回答才算有了实质性的进展.KAM定理表明:在一定条件下,“弱不可积系统”的运动图像与“可积系统”差不多.这种KAM定理的粗略表述似乎颇为模糊和平淡.其实只要破坏该定理中所假设的任何一个条件,运动都会变得无序和混乱.即初始条件的微细改变,其后的结果,便差之千里.经过一系统严格的数学实例证明,某些牛顿力学所描述的运动,如同掷骰子一样,是随机和不可预测的.反过来说,一个典型的“不可积分”力学系统,通常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域.随着某些参数(如作用力F大小的参数)的变化,随机区域可能逐渐扩大,最终将吞并掉规则运动的所有区域.因此,甚至都可以严格地定义在规则运动区域中为零,而在随机运动区域中大于零的特征量,由此来量化运动的随机程度.如果说规则运动是简单运动的话,那么随机运动就是复杂运动了.因此,决定性的牛顿力学从计算到预测的观点来看,实际上就具有内秉随机性,这就是微观层次上的混沌运动.
现在我们把问题的焦点转向另一头，再回到宏观层面上来看湍流问题。其实湍流现象普遍存于江河湖海、火箭尾流、锅炉燃烧室、血液的流动、星云系团以及大气环流等自然现象之中。研究它的困难之处不仅在于流体运动具有无穷多个自由度，因为如果研究对象只限于尺寸的大小旋涡层层相套，尽管运动能量错综复杂，但通过由整化零，用统计的方法去描述它任仍然奏效.但是问题在于:湍流是经过一次或多次突然转变而形成的，而在紊乱无规则的背景之上往往又会出现大尺度或颇为规则的结构纹样，即出现了协调一致的运动模式。即便抛开湍流的空间结构不说，若用决定性的流体力学方程去表述这种貌似随机运动紊乱的时间行为又怎么可能呢？
美国气象学家洛伦兹是专门研究对天体至关重要的大气热对流问题的。他发现即使对一个经过极度简化的系统来说，大气状况“起始值”的细微变化，也足以使非周期性的气象变化轨道全然改变。1963年，他发表了关于混沌理论的开创性研究文章“确定性非周期流”。他曾以夸张的口吻讲到了“蝴蝶效应”：南美洲亚马孙河流域热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动了几次翅膀所引起的微弱气流，对地球大气的影响就可能在两周后在美国德克萨斯洲掀起一场龙卷风。原因就是非线性关联导致的非线性放大，洛伦兹将这一特性称为“对初始值的敏感性”。“蝴蝶效应”就是洛伦兹从简单数学模型中发现的混沌现象。洛伦兹因其开创性的工作而倍受科学界关注，被世人称为混沌之父。另一方面,在1975年数学家茹厄尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制,他们认为在向湍流的转变过程中,仅有少数的自由度所决定,经过两三次突变之后,运动就到了维数不高的“吸引子”上.所谓的“吸引子”,是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态;它可能是稳定的平衡点,也可能是周期性的某种轨道,而或也可能是不断变化、没有明显规则或次序的回转曲线,把这些规整性运动形态就称为“奇怪吸引子”.对初值的敏感依赖性,是在奇怪吸引子上的运动轨道的主要特征.在各种决定性的宏观方程中,由于能量耗散而使有效的运动自由度减少,最终局限到低维的奇怪吸引子上.这就是宏观层次上的混沌现象.追寻和破解奇怪吸引子就成为了20世纪下半叶物理学家和数学家研究无序奥秘的突破口,“洛伦兹蝴蝶效应”就是美国物理学家洛伦兹在1963年利用简单方程通过计算机运算出来的第一个吸引子图象.随意的无秩序的摆动形式既不是周而复始的圆环运动,也不是高低不同的螺旋运动,它是一个永不重复永不交叉(它的运动轨迹不在同一个平面)的线团,就像一个没有尽头的麻花. 简单原因可能导致复杂的后果,这是混沌研究所提供的一条重要的信息.许多看起来杂乱无章、随机起伏的时间变化或空间图案,可能来自重复运用某种极简单而确定的基本式样的结果.反之,从貌似复杂的时间、空间的时空行为,也可反溯到原始的简单的动力学规律.混沌研究的进展,它不是把简单的事物弄的更为复杂,恰恰相反,它是为寻求复杂现象的简单根源.“洛伦兹蝴蝶”成为了混沌学
混沌不是无序和紊乱.一提到有序,人们往往想到周期性的排列或对称的形状,而混沌却像是没有周期性的次序.在理想模型中,混沌可能包含着无穷的内在层次,层次之间存在着“自相似性”或“不尽相似”.在观察的手段分辩率不高时,只能看到某一个层次的结构,当提高分辨率后,在原来不能识别之处又会出现更小尺度的结构.同时还有一点要注意:混沌也不是噪声.所谓噪声是泛指一切来自我们所着眼的物理系统以外的微小干扰;诸如地基的振动、气温的变化、电压的起伏等,而不仅仅单指我们耳朵所感知的不协和音.噪音的主要特征在于它真正的随机性和无从预测性.在现实世界中,混沌往往披着噪声的外衣出现.在我们还未曾了解混沌现象之前,混沌不知有多少次被当作噪音而被忽略了.噪声可以诱发混沌,噪声限制了我们对混顿现象的无穷内部层次的探测深度,这也给予我们这样一个提示:对于混沌现象的观察、研究必须满足于有限而非无穷尽的分辩能力上.完全的决定论和纯粹的概率论,都隐含着秉承以某种“无穷”过程为前提.就决定论而言,它的准确轨道意味着可能以“无限”精度进行测量,有限的精度测量就不能排除轨道所含有的随机成分.对概率而言,有限长的随机数序列,只能以有限精度通过随机性检验,只有“无穷”长随机数序列,才能是“真正”随机的.实际上,我们的观察和测量只能在有限次的范畴内进行,因此,有必要把有限性提升为一种原则.事实上,有限个随机数可能用决定论的过程来产生,只有承认有限性,那么决定性和概率性描述之间的鸿沟可消除.对于决定论还是概率论的采纳,二者的关系可能是非此非彼,亦此亦彼.这样更能真实地反映宏观世界的观念,并且应当基于有限性的混顿理论.问题回到单线扭摆的物理实验上来,其实用非线性方程来研究单摆起始于20世纪70年代.前苏联物理学家R.Z.萨德韦夫在他的《非线性物理学》这本书中,就以“从摆到湍流和混沌”为副标题,可见“摆”在非线性动力学中所占的比重之大.当单摆的摆角θ很大时,其动力学行为就是非线性的了.在这种情况下,可用一个典型的非线性方程来描述.
以上方程各参数作如下定义:式中 为阻力系数,为单摆的本征频率,F为外界驱动力的幅值,为驱动力角频率.对于这样一个典型的非线性方程到目前为止,还不知道如何用解析的方法求解这一方程.通常的作法只是采用在给定参数和初始条件的情况下进行数值计算.现在不妨作一简单的讨论.但对无驱动无阻力的单摆运动,由于可用线性微分方程求解,所以不在讨论之例.先看看无驱动力有阻尼的单摆运动(当摆角θ从小角度逐渐增大时,运动从线性变为了非线性.)当 时,,运动图样的螺旋线的中心点就是一个吸引子.当 时,该点为不稳定点.当 时,该点称为边缘稳定点.在看另一个参数的变化情况.当 时的非线性情况是整个运动图样被划分成了两个区域,从每个区域的任一点出发,运动轨迹都流向中心吸引子,从而就把这样的区域称为吸引域.那么对有驱动力有阻尼的单摆运动来说,首先引入一个无量纲的参数f,令其 ,则改变f有以下情况发生:在f=1.07时,运动图样出现了二倍周期.在f=1.15时,运动图样轨迹变得模糊而无规则,这反映了运动内部的结构性.在f=1.35时,运动轨迹清晰单纯,单摆运动出现一倍周期,单摆作单向旋转运动.f=1.45时,单摆运动出现二倍周期,单摆仍作单向旋转运动.在f=1.47时,单摆出现四倍周期,单摆作单向旋转运动.在f=1.50时,单摆运动又变的模糊无规则,似乎比f=1.15时更加混乱,法国科学家彭加勒曾证明过这种无规分布能形成一个奇怪吸引子.不管是洛伦兹的“蝴蝶效应”还是“单摆受迫阻尼运动”,它们的运动状态都有如下特征:1)描述这些系统的动力学方程都是非线性方程.2)这些非线性方程都是确定性的方程,不含随时间变化的随机项.3)在某些情况下,系统运动轨迹的时间行为对初始条件都极为敏感,致使其运动的长期行为可能变得貌似混乱.4)整个系统长时间行为的全局特征与初始条件无关.这就是混沌现象的基本特点.以上就是由扭摆实验引起的我对非线性科学中的混沌理论所作的知识寻迹与概括.以下我将把混沌理念与人文的人生意识作一些映衬.
转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c0a4e1d0100octl.html
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