姬扬：力学教学笔记之数学工具
作者：姬扬学习知识不是越多越好，越深越好，而是要服从于应用，要与自己驾驭知识的能力相匹配。
——黄昆
大学普通物理很重要，但是，大学普通物理很难教。一个常见的理由是，不会微积分没法学。
在学习大学普通物理的时候，确实需要高等数学的知识，但是，学生应该认识到，数学是学习和掌握物理的工具，不能为了数学而数学。很多学生没有认识到这一点。
利用舒幼生《力学》这本常用教材，我们简单讲讲大学普通物理中用到的高等数学知识。这本教材有个附录《数学补充知识》，其中包括行列式、矢量的代数运算、一元函数微积分、多元函数微积分，共四个小节、不到30页。从过来人的角度来看，这些内容虽然简略、但已经算是完备了。但是，我觉得，对于初次接触这些内容的一年级本科生来说，确实会有摸不着头脑的感觉——最多的感受可能是，这么一堆定义，它们到底是干什么用的?
我把这些内容讲了两遍。第一次是在最初的4个课时，第二次是在讲完第三章之后。我讲的东西非常简单，我觉得是常识，可是书上好像都不这么说，虽然我并不觉得自己讲的跟书上的有什么差别。
我讲的这些内容当然完全谈不上什么严谨，但是可能会对初次接触高等数学的一年级本科生有些帮助。
我是这么讲的。这些数学就是一些规则而已，跟小学的加减乘除、中学的一元二次方程什么的一样，知道这些规则、先照猫画虎地用起来再说。至于为什么这么定义，暂时先不要关心，至少不需要像学习数学分析那样寻根究底。
行列式、矩阵及本征值不用去关心行列式为什么要采用这样的递归式的定义；什么分母行列式或分子行列式，他们就是个定义，就是个规矩而已；行列式的各种性质，包括转置什么的，很容易根据定义看出来的，不过就是计算繁琐一点点罢了。关键是要知道，行列式就是求解线性方程组的一套系统方法，中学里用消元法求解二元或者三元一次方程组，行列式就是把这种方法机械化了。
如果你有5个未知数，你就必须有5个独立的条件(也就是方程)，才能得到唯一的结果；如果你只有4个或者更少的独立条件，这就是所谓的“欠定问题”，你会有一大堆满足条件的解；如果你有6个乃至更多的独立条件，也就是说方程的数目比未知数还多，“过定问题”，你就没有解。行列式只是告诉你如何简便地判定，所有的条件到底是不是独立的。系数行列式的值detA等不等于零，就是这个判定条件。行列式等于零，说明条件数少于变量数，没有唯一解。
矩阵主要是用来做变换的。我们研究物理问题，经常要从不同的角度来看，最常用的就是换个参考系。矩阵就是告诉你怎么换参考系的。比如说，二维平面里的直角坐标系转动了一个角度ϕ，那么转动前后的坐标就可以用某个矩阵联系起来，这个矩阵显然只依赖于ϕ，具体的形式你记住就行了，当然，推导一下也很简单，而且有利于你记忆。
矩阵(不是上述的变换矩阵，就是随便一个矩阵)作用在某个矢量上，就会得到一个新的矢量，通常，这个新矢量没有理由与原来的矢量指向同一个方向——这个世界大着呢，每个矢量都有自己的指向自由。但是在一些特殊条件下，特定的矩阵、特定的矢量，最后得到的矢量就会指向同一个方向，而且这种情况碰巧在很多物理问题中都会出现，这就是本征值和本征矢量。
矢量的代数运算
这些都是规则，不管是矢量的加法、减法，还是好几种不同的乘法，都是规则而已。矢量的加减法，中学物理已经接触过，就是力的合成与分解，只不过现在更加一般化了，但是他们的几何表示仍然很有用。
力学中会用到标量和矢量。标量就是个数，矢量不仅仅是数，还有方向。同类才能加减，标量对标量，矢量对矢量。乘法却没有这么讲究了。标量乘以矢量，不改变矢量的方向，只是数量相乘而已。矢量乘以矢量，则有几种不同的方式。
两个矢量做乘法，得到的结果可以是个数，或者说是个标量，这就是“点乘”，其几何解释是两个矢量大小和二者夹角余弦的乘积，在“功”的概念中要用到；得到的结果也可以是矢量，这就是“叉乘”，其方向垂直于原来的两个矢量，其大小两个矢量大小和二者夹角正弦的乘积，碰巧等于这两个矢量组成的平行四边形的面积。需要注意的是，点乘不依赖于二者的顺序，而叉乘却不然：交换二个矢量的顺序，叉乘的结果会改变符号——所以要采用所谓的右手法则来帮助确认符号。
两个矢量做了乘法以后，当然还可以与第三个矢量做乘法，由此而至无穷。值得注意的是，A⋅(B×C)这样的三个矢量相乘的结果是个标量，碰巧等于这以三者为边的平行六面体的体积，而且与乘积顺序无关(除了符号)；A×(B×C)则是矢量，而且这个矢量与(A×B)×C大不相同。
显然，对于初学者来说，这样定义的两种矢量乘法似乎没有什么显著的理由，有时候他们会困惑。其实不用担心，因为有一个最显著的理由，从来没有人说，因为写书的认为这是显而易见的：这样定义乘法，可以让很多物理公式表达得非常简洁，而且很多的成果证明，这样的定义便于使用。说白了就是，这样的定义很好使。如此而已。所以，初学者不用纠结，把它们搞熟了就行。矢量乘法会有一些恒等式，都可以直接了当地根据定义推导出来。
一元函数微积分
函数的概念，一一对应关系、反函数，等等，都在中学里学过，但是学生们往往对它们进行一般化的使用，或者说，头脑里没有建立适当的图像。有了这些图像，微分和积分的概念就很容易明白了。关键是不要钻牛角尖，把微积分当作工具就行了：物理里面碰到的函数都是连续的、光滑的、处处可微的，那些处处不连续的函数，或者处处连续但是处处不可微分的函数，你这辈子只会在数学分析的课堂上遇到。
如果你认为上面这个看法是自然而然的，那么恭喜你，你非常适合做物理；如果你对这种看法不满意，觉得必须讲证据，那么也恭喜你，你是块学数学的料。
物理讲究因果，讲究的是由近而远，这个道理并没有什么了不起的，中国人好几千年前就知道，所谓的“修齐平治”而已：“古之欲明明德于天下者。先治其国。欲治其国者，先齐其家。欲齐其家者，先修其身。欲修其身者，先正其心。欲正其心者，先诚其意。欲诚其意者，先致其知。致知在格物。物格而后知至，知至而后意诚，意诚而后心正，心正而后身修，修身而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平。自天子以至于庶人，壹是皆以修身为本。”
真正了不起的地方在于能够用数学方法把这套想法实现了。我觉得，微积分就是帮助计算用的。举个例子吧，梁山泊108条好汉，其中有3位女将，那么女将的比例是多少？
嗯，1/36，这个数挺整的，可是不好使啊。也有列出竖式、或者拿出计算器算的，嗯，2.77777%。其实对于搞物理的来说，最重要的是先要搞明白你自己需要多大的精度。比如说，如果一位数字就够了，那么就是3%，就把108当100好了；如果还想精确点，那么108跟100差个大约10%，那么结果就是也差10%，所以就是2.7%。如果还不满意，那么就是3，其中，x=0.08，精确到x项，就是2.76%，精确到x2项就是2.78%。根本就不用除法。
上面只是泰勒展开公式的最简单用途。随便一个函数f(x)，你站在某个位置x0处，最简单的近似就是，认为这个函数是个常数，到处都等于fx0，这就是零阶近似；进一步认为在这附近不是常数，而是随着到该点的距离变化，变化率就是所谓的一阶导数f′x0，这附近的估计值就是fx0+f′x0(x−x0)；如果这还不能让你满意，就再多考虑一项，把二阶导数搞进来，估计值就变为fx0+f′x0(x−x0)+1/2f"x0(x−x0)2；如此以至于无穷。
至于说微分、积分的求解法，都是现成的，不过花点功夫就是了。再就是利用中学数学知识，学会求几个简单的微分，就都明白了。中学已经学过二项式定理，(1+x)ⁿ=1+nx+n(n−1)x/2+......，现在只需要知道，牛顿把这个公式的适用范围从整数n扩充到任何实数p了。随便算两个例子：
sinx的导数是cosx。
sin(x+δ)−sinx=sinxcosδ+cosxsinδ−sinx≈δcosx+...
然后就是那些法则，两个函数的加减乘除后的求微分，复合函数的链式法则，反函数的微分(链式法则的特例而已，f(g(x))=x，所以，f′g′=1)，隐含数求微分，都是一些规则而已，自己推导一次也很简单的。
积分就是微分的逆过程。牛顿-莱布尼兹公式说的就是这件事。常见的函数都可以求微分，也就是说有显式表达；但是，常见的函数不一定有积分的显式表达，但是肯定可以用所谓的黎曼积分方法来数值求解。无论怎么样，先用变元法把式子化简，总是没有坏处的。
微分常用于分析因果，而积分常用来计算数值。其实，数学是帮助物理求解问题的，只要能解决问题，什么方法都可以用的，为什么一定要精确解，不到小数点后第八位不甘心?比如说，积分常用来算长度、面积或体积，现在都可以用计算机进行数值计算的，或者你也可以简单估算。当年伽利略还是谁算旋轮线的面积，不就是把旋轮线画在纸上剪下来、称称重量就行了吗。
多元函数微积分
把单变量微积分搞明白，多变量也就是容易了，就是个简单的推广而已。原来你只有一个变量x，现在有了好几个变量x，y，z，那就一个一个来呗。偏微分就是先把一个当变量，其他都当成常量，然后大家轮着来；线积分、面积分和体积分，道理也是一样的。至于说什么交换积分顺序或交换极限顺序的合法性问题，刚开始的时候根本就不用想那么多。再说了，你们不还有几十个课时的高等数学课吗?
数学只是工具。数学家们已经把工具造好了，我们只不过拿来用用，而且用到的地方都没有什么稀奇古怪的玩艺，担心什么呢?
再说一遍：解决问题最重要，谁管你怎么做呢？古今中外都是如此，亚历山大解开绳结的方法，中国历史上也做过好几次，比如高洋的“快刀斩乱麻”，《北齐书·文宣帝纪》：“高祖尝试观诸子意识，各使治乱丝，帝独抽刀斩之，曰：‘乱者须斩!’”
在学习物理乃至将来研究物理的过程中，有很多重要的事情要做，高等数学根本不算什么的，而是像黄昆先生说的那样：
对于创造知识，就是要在科研工作中有所作为，真正做出点有价值的研究成果。为此，要做到三个‘善于’，即要善于发现和提出问题，尤其是要提出在科学上有意义的问题；要善于提出模型或方法去解决问题，因为只提出问题而不去解决问题，所提问题就失去实际意义；还要善于作出最重要、最有意义的结论。
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