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动力学的世界里，无所谓色彩味道，只在乎系统所包含的自由度-或者说维度，一定的维度对应一定的现象。
维度是动力学系统的最基本属性 。它决定系统的复杂性，及其可能具有的基本性质。 还有，我们有多大把握预测系统的未来。高维空间的属性绝非只有爱因斯坦在乎，而是与你我息息相关。
一维的世界里我们看到的是反馈和定点-或者说静态平衡的法则，二维的世界我们看到振动这一自然永恒主题的出现，这是大自然的动态平衡。二维系统可以稳定存在的运动状态有两个，一个是定点，一个是振动。这两种状态却不是一乘不变而是经常可以转变，有的是从一个定点到另一个定点的转化，也有的是定点和振动之间的转化。这就涉及一个非线性动力学永恒的主题-Bifurcation(分叉)。
Bifurcation与相变
我们用Bifurcation研究一个动力学系统的演变。动力学系统由状态变量(系统可以自由变化的量)和控制变量(参数)组成。在初步讨论一个动力学系统性质的时候，我们先假设参数不变，因此可以得到系统动力学在相平面的拓扑图，然后求定点和轨道。在二维的情况下，参数给定，动力学流型得出，则一切皆可精确预测。
真实的世界里从来没有一成不变的参数，真正不变的只有变化，而有的时候参数和变量甚至难以区分彼此。因此，非线性动力学给出的对世界的最精密的描述，不是确定参数下的流型，而是在参数空间里对应的不同相平面流型。简单的讲，动力学不仅感兴趣我们现在所在的那个世界，而是所有可能的世界(每个参数就是一个世界)。参数的空间好比小径分叉的花园(无限可能性的博物馆)，每一点上你都有一扇窗户， 打开可以看到那个世界的可能性。在这个花园里走路，你将看到一种可能性是如何演化成另一种可能性的。
下面我们就到二维世界里去玩一玩，请看下图， 你一定看到了十字架和一个抛物线。这是最简单的线性二维动力学系统，完全可以通过求解系数矩阵(对应于一维情况下的单一系数)的特征值解决。首先看这个系统的定点，即发现 (0,0)，好简单(带入方程微分为0)。但是系统是被这个定点牢牢抓住，还是围绕它振动，还是远离它而去，确取决于系统的参数。
而这个平面的横轴和纵轴就代表这一矩阵特征值的实部和虚部。当系统的参数变化，表现为系数矩阵的特征值在这一平面上的运动。特征根的实数部分的正负决定系统是趋于稳定的定点还是发散。为负的话你将收敛到到她身边，为正你将远离她而去。而如果实数部分为0，特征根只有虚部，那么系统意味着系统既要远离定点又出不去她的引力范围，最后就成围绕他绕转，即振动的情况。虚部的正负决定系统围绕定点转动的方向，在此不多叙述。
图 最简单的二维动力学系统-由一个线性微分方程组给出
那么什么是Bifurcation呢?它就是参数空间里系统动力学流的性质发生质变的点。例如上图里的那个抛物线，当系统的参数变化越过抛物线的时候，系统就从稳定吸引变成了发散远离定点，这个过程就是Bifurcation。
而在抛物线一侧的变化只是定量的变化，却无定性改变，这就是普通的变化。Bifurcation标志系统的动力学性质就发生彻底的变化。好比两个人在一条路上走着走着，突然到了岔路口，从此南辕北辙。
在动力学家的眼里，只有那个bifurcation point 具有关键意义，起到区分不同系统的作用。其它小的变化都忽略了(这恐怕是他们不好找女朋友的原因)。
另一种典型的bifurcation情况：
图中的小球一开始在谷底，处于稳定平衡。这个谷就代表系统的参数，当参数固定，山谷的形状就是确定的。当我们改变参数，山谷的形状发生变化，谷底逐步被拉平，而最后隆起出一个小山。在这个过程里，中心点的稳定性丧失，小球将面临一次全新的选择，是向左还是向右? 这个谷底变成小山的过程就叫Bifurcation，而谷和丘的临界点，就是Bifurcation Point。
从此图可见，Bifurcation的本质是系统反馈性质的变化。当小球在谷底，一个负反馈保证它不离开(稳);而当谷底逐步变平突起的过程，负反馈演化成离开谷底的正反馈。
Bifurcation Point上的小球具有“自由意志”，或者说非常敏感。一个随机的扰动都可以被放大(正反馈的作用)，使它向左或向右，这就是历史的转折点。而当Bifurcation的过程结束，小球就落入了新的平衡点，此时的它，已经被一个负反馈束缚住，非有强大的能量，是不会离去了。
Bifurcation正是物理里相变的化身，在动力学的世界观里，那些定量的改变等于没变，而只有Bifurcation-分道扬镳，才是真正的变化。物理、化学、生物一切最有趣的现象，都在Bifurcation点上，因为它的敏感，它的无限可能。
Bifurcation Point就是我们所说的决定性瞬间。在这个时候，系统的前途未卜，而有任何一个风吹草动都可能使它转左或转右而走向截然不同的未来。 如同高考考场上的同学，蒙对蒙错一个选择题就去往了截然不同的城市，遇到了截然不同的爱情。
还有历史上的关键期。如同影片《一步之遥》主角马走日的故事，作为满清贵族的他，被老佛爷赋予下达全国男人剪辫子的命令，那天他跑出去下达谕旨， 天却下起大雪，他躲进一个小酒吧喝了两桶酒睡到天亮，没想到天下已经民国了....他那个哭啊!
这个故事看似荒唐却很真，因为1911年就是中国历史的Bifurcation Point，只有在Bifurcation Point -相变点上， 一个人的小事才能左右国运，一个小时就是一世纪。
君主立宪还是走向共和? To be or Not to be，That is a Bifurcation!
Hopf-Bifurcation——沟通平衡与振动的世界。用一句话说，Hopf-Bifurcation描述一个系统定点失去吸引力并最终产生闭合轨道的过程。这与我开头引题的抛物线那个图其实是一回事，我们把非线性系统在定点附近进行线性近似就可以沿用上面的分析。
BZ反应 (Belousov Zhabotinsky 化学反应 )。我们高中课本有个东西叫化学平衡，说的是化学过程最终都导致平衡，该反应的反应过了，我们就得到一堆万年不变的反应产物。但是1950年代的一个苏联科学家belousov却在它的反应里发现了一个十分惊人的现象，他发现他手里的混合物反应后还会在一段时候回到原来的状态，然后又重新反应，如此周期反复。这一现象一出，他就被封杀了。因为他的结果不符合热力学第二定律(根据热力学第二定律，自发状态下系统必须趋于平衡)，又加上适逢冷战，他到死也没看到他的成果被承认，成为科学史上几个重大悲剧之一。
但是它的发现却开拓了一个全新的领域-化学振荡，而他的发现也成为复杂性可以从简单系统中诞生的典型例子，与图灵对生物斑图的研究一起，开拓了复杂科学的先河。
周期振荡的化学反应，红变蓝又变红
Belousov的化学振荡可以自发产生美丽复杂的斑图(下图)，被认为是复杂性从简单系统产生的典范，对生命起源等问题都很有启发。
如果我们给这个化学反应写出热力学方程，就可以发现循规蹈矩的化学平衡和“异常”的化学振荡可以完全统一在一个系统里，只是根据反应物浓度不同而不同。它的本质即Hopf Bifurcation。
Belousov反应具有众多反应物和接近20个步骤，但是可以简化为一个二维动力学系统(内容繁杂在此不续)：
随着参数a、b的变化，系统具有完全不同的动力学模型，见下图：
Hopf Bifurcation，左图是一个具有静止平衡态(定点)的系统，动力学流从不同的位置旋入这个系统。右图为振动解 (limit cycle) 的诞生， 事实上，两张图描述的是一个系统的连续变化，开始那个稳定的平衡点失去稳定属性，流行从旋入这个点变为旋出，而归于确定的闭合轨道。这就是Hopf Bifurcation的范式。
Hopf Bifurcation作为阐述振动和静态平衡互相演化的基本手段， 在生物、经济等领域反复出现。甚至我们的生命过程本身也可以理解为一个大的Hopf Bifurcation。心脏的跳动和新陈代谢的循环伴随我们一生，这是系统的振动解。 我们死的那一刻，振动停止我们步入了静态平衡。这就是Bifurcation Point，from live to death。
中国历史的演变可以看做一个大Hopf Bifurcation。从中国历史的初始阶段-东周列国(不考虑部落传说时代的夏商)到大秦帝国的诞生，可谓经历了Bifurcation。因为动力学系统的性质前后发生了根本变化， 从之前小邦国的平衡状态发展到帝国循环的动力学模型。春秋战国可谓中国历史的关键期 (critical period)，但即使在秦帝国初建的时候，前一个动力学模型依然没有完全结束，两个模型依然在竞争 (Bifurcation point)。 所以秦帝国才只持续那么短，因为邦国并立的组织虽已破坏，但其“鬼影”还在，新帝国的形式并不稳定。
所以陈胜之后，才有六国后人的争相复辟，而项羽则作为旧的动力学模型的最后惊魂一瞥划过天空，作为楚国贵族的他夺了天下，却只想分封诸侯，回到六国旧梦。因此，注定他只是一颗流星，他终是敌不过作为新帝国模型代言的刘邦。他的失败根本是他所代言的动力学模型的失败，而非孤勇。汉帝国能够成为中国第一个持续两百年以上的帝国，也是因为汉初皇帝彻底瓦解了邦国的旧动力学体系。他们所做的分封刘氏皇族，进一步加强大一统，都彻底瓦解了旧的社会组织，旧贵族的梦是在几千年都兴不起来了。
注： 虽然中国历史也多次经历分裂诸侯并立的时代，但那都是作为帝国循环的某个特殊转化期而存在，而非稳定的状态。
高维系统与混沌
当系统的维数达到三维，主宰动力学模型的就不再是那些稳定可测的点或圆环，而是初值敏感，极难预测的混沌。
混沌其实没有你想的混沌，系统依然具有确定性的方程，只是其复杂性使得它看上去像是随机，毫无秩序而已，所以，混沌实则乱中有序(人类社会缩影?)。
我用一种最简洁的方法说明混沌如何可以产生。刚才我在一维系统反复强调定点，因为定点是一维系统唯一可以具备的稳定状态。而在二维非线性系统我反复强调闭合轨道，因为二维系统定点和闭合轨道是二维系统唯一可能的稳定状态(庞加莱大法)。顺下去推理三维非线性系统，可能的稳定状态是什么?遵守点线面的顺序， 你一定猜到了是曲面。对，三维系统的稳态可以是三维空间里复杂的曲面。只是说一个曲面稳定已经不再有意思了，我们管它叫吸引子，是三维空间里吸引系统进入的一个物体。
图 为吸引子去曲面的范例-洛伦兹吸引子的形状
那么好了，为什么三维非线性系统可以产生混沌? 因为物体被一个整个曲面吸引，不知道往哪里去了。即使它被紧闭在这个曲面上，它也可以具备无数的轨道(面上的曲线)。轨道变得复杂不可预测，因而混沌。
洛伦兹以它优美绝伦的洛伦兹方程，证明了混沌是如何可以从一个三维的确定性系统里产生出来。洛伦兹方程产生的混沌，被后人称为蝴蝶效应。传说南美洲的蝴蝶煽煽翅膀，就可以引起北美的飓风。即使这是真的，它也不是洛伦兹的本意，因为蝴蝶效应说的其实是- 动力学流行在相空间的姿态类似一只蝴蝶!
洛伦兹方程具有优美简洁的形式：
当这组方程的参数正好位于Hopf Bifurcation的点，我们就得到翩翩起舞的蝴蝶。
图 为洛伦兹吸引子，由洛伦兹方程确定的三维系统具有两个吸引中心(定点)，系统围绕两个定点旋转，形成极为复杂不可捉摸的轨道，形如扇扇翅膀的蝴蝶。
对这一系统最简单的理解是，洛伦兹系统依然描述闭合轨道，这和之前描述的二维系统的振动是相同的。但是在三维系统里，我们有两个定点及随之确定的吸引子曲面。系统时而绕着其中一个定点旋转，时而绕着另一个定点旋转，但是它哪个时候改变绕转的对象却是不可测的。
混沌准确的定义是相邻轨道的稳定性-或者说初值敏感性，你是否可以从一步之遥，发展到天壤之别。不过和之前我分析定点的稳定性不同的是，这次需要的是分析轨道的稳定性。
如何分析轨道的稳定性? Simple。我们选取在相空间里期初无限接近的两条轨道，分析它们之间的距离在之后是扩大还是缩小。如果两条轨道的距离是扩大的，则预示着系统是混沌的。
我们利用一个叫Liyaponov指数的量来分析轨道距离变化的趋势，如果指数为正，则意味着开始一步之遥的两条轨道会变成天壤之别;而指数为负，则意味着它们将归于一处。
图 为混沌的判定原理-初值敏感性，无限靠近的两条曲线，未来会怎样?
混沌与秩序：
混沌实则是复杂秩序的产生者，它所产生的秩序，叫做分型结构-Fractal。分型结构的本质是自相似性-或者说标度不变形。就是说把它放大或缩小N倍和原先张的一样，或者说宇宙里包含着小宇宙的无限迭代形式。分型是自然界中的图案的主宰，从树叶到海岸线，到我们的肺都具有此类结构。分型如此常见，是自然界中的混沌动力学体系写下的诗篇。每一个分型结构的背后，大概都藏着如蝴蝶翩翩起舞般美丽的动力学方程。
图 为混沌体系产生的某种图案，像不像叶子?
混沌与市场自由-凯恩斯vs哈耶克
混沌是美丽的，因为它代表自由，自由竞争的市场往往最后产生垄断(定点)，但垄断格局却从不持久，因为参与市场竞争的个体实则无数，所以市场其实是个高维的混沌系统，而对于这样的系统，即使一时产生垄断，其风云莫测的性质也会打破它。
那么政府应不应该干预市场呢? 对于一个混沌系统，一个短期内看似有益的干预在长期却可以产生不可预测的影响，或灾难。 因此，政府对市场的干预并没有政府官员想的那么简单。
凯恩斯是政府干预理论的创始人。他的理论基于一个二维的模型，以市场供求永不能自发平衡为原因，主张以政府干预调节市场周期。而哈耶克作为凯恩斯的大反派坚决反对市场干预，他的模型是高维的、混沌的，认为对市场这样的高维体系，没有人能够真正预测其走势，政府干预多害少利。两者模型的维度大小决定了理论的高度。
混沌的不可预测其实是描绘初值敏感，两个起初靠在一起的轨道注定要发散。 但是它终究是确定性系统，与量子力学的不确定不同。
高维系统与复杂网络
当系统的维度发展到大于三，或者任意N维，我们就得到了一个复杂网络。因为系统的维数即变量个数，一个N维的系统意味着N个互相作用的变量，这就已经是一个复杂网络了。复杂网络是复杂科学的物质载体，而得到我们这个时代或未来任何实用的理论模型，都离不开它。
你如何做出比凯恩斯更准确的经济学理论?请把经济体系看做一个复杂网络。你如何了解思维是如何产生的，大脑如何运作?请把神经系统看做一个复杂网络。你如何能够通过facebook找到最心仪的对象?社交网络本来就是复杂网络。
图 无标度自由网络专家Balbus建立的经济模型新范式。
尾声： 展望大数据时代
整篇文章升华到高维系统，以不是一篇文章所能维系。关于高维系统，传统的先找出动力学的变化机制，列出方程的方法已经没有那么好用，而一种新的方法，由大数据反推动力学模型的方法正在逐步流行。
这些新的方法，正在增强我们对复杂系统的预测力量，也许有一天，混沌将没有那么混沌。
来源：混沌巡洋舰公众号(ID：chaoscruiser)，作者：许铁。
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发表于 2018-10-11 09:35
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