多分辨率频谱分析
一、引言 机械结构和声学应用中的很多问题要求谱分析采用非均匀的频率分辨率。在这些应用中，我们更倾向于用对数刻度来描述频率轴，由此低频段有比高频段更高的频率分辨率。在介绍之后我们会讨论一些例子。在CI产品描述0001《动态信号分析技术》中，我们讨论了各种频谱是如何计算的，包括线性谱、自谱、互谱、相位谱、相关函数和频率响应函数。在现代动态信号分析仪产品中，这些谱都是通过Cooley-Tukey FFT算法计算的。
离散傅里叶变换 (DFT) 的基本公式：
其中，x(n) 时域波形样本;n 为样本下标;N 为样本总数;k 为有限分析频率，对应FFT中心;X(k) 为x(n) 的离散傅里叶变换形式。
在多数情况下，我们采用基数为2的FFT算法，要求样本总数是2的整数幂。
图1 FFT算法结构的一个例子
FFT的一个显著特点是将采样率均匀的时域信号转换成频域信号，会在整个频率范围内产生均匀的频率分辨率。频率分辨率dF，是时域块信号的时长和块大小N 乘积的倒数。比如，将FFT应用到时长0.5s、块大小N=1024的时域块信号，那么频率分辨率为1/(0.5 sec*1024)=0.001953125Hz。
时域信号经FFT变换后，频谱的频率分辨率在分析频率范围内应均匀分布。10Hz处的频率分辨率和1000Hz处的频率分辨率相等。当分析中要求采用非均匀分布的频率分辨率时，基于FFT的谱分析就不适用了。
DFT计算次数的量级是N*N，FFT计算次数的量级是NlogN，其中N 是时域信号的块大小。如果1965年Cooley和Tukey没有发明出FFT算法，人们会使用效率较低的离散傅里叶变换 (DFT) 算法进行谱分析。DFT的优点是频谱的分辨率不必均匀分布。实际上，在做DFT变换时，频率分辨率可以任意分布，从这一点看DFT算法似乎优于FFT算法，然而DFT的计算花费太高了。
如果我们能够找到一种计算效率和FFT一样高，并且可以使频谱的分辨率非线性分布(尤其是对数分布)的算法，将会是革命性的。
经过20多年的研发，晶钻仪器公司成功将多分辨率频谱分析方法引入并应用到其多个产品中，包括CI随机振动控制器、动态信号分析仪和模态数据采集仪。多分辨率频谱分析方法解决上述提到的问题并具有一系列的优点，这篇文章将讨论它的应用和结果。
二、要求采用非均匀频率分辨率的例子 在这一节，我们讨论几个要求采用非均匀频率分辨率的例子。
1. 音乐频率
钢琴键盘上不同音调的频率不是沿线性尺度均匀分布，而是沿对数尺度均匀分布。
其他乐器的音调具有和钢琴相似的频率分布。人们根据频率来区分所听到声音的音调，这在对数尺度上很容易描述。
第n 个键的频率的计算公式如下：
(a'=A4=A440是标准钢琴的第49个键)
上式可以写成：
反过来，从标准钢琴频率440Hz开始，可以用如下公式计算钢琴的键号：
用户希望使用动态信号分析仪采集钢琴声音的时域信号，并对不同的声调进行精确分析。由于人们听到两个声调的区别主要是由两个频率大小的比率而不是两个频率大小的差引起的，那么就要求27.5Hz处的频率分辨率比1760Hz处的高。如果频谱分析仪在分析频率范围内分辨率都为1Hz，那么1760Hz的频率读数误差小于0.1%，而27.5Hz的误差可高达3%。这个例子告诉我们，设计一个可以提供频率分辨率沿对数尺度均匀分布，而不是像FFT一样沿线性尺度均匀分布的信号分析仪，将会是更好的解决方案。
2. 共振频率的阻尼估计
结构的动力学方程是
对应的临界阻尼系数为
或者写为
其中，ωn=√k/m 是结构的固有频率。
利用固有频率和阻尼比的定义，可以把动力学方程写成
阻尼比是无量纲的。
阻尼是结构动力学特性的主要因素。阻尼比ζ 决定共振的强度，可以通过频响函数测幅值计算得到。结构的阻尼比主要由材料决定，例如塑料的阻尼比比钢要高得多。换句话说，给定材料的阻尼比通常在一定范围内。
下表是几种材料的粘性阻尼比：
现在我们来看看如何用FFT信号分析仪来评估结构的阻尼比。利用FFT信号分析仪，可以计算出响应和激励之间的频响函数 (FRF)。通常响应由安装在结构上的加速度传感器测得，激励是力锤或振动台对结构施加的力。
FRF可以通过文献中的方法计算得到。一个典型的FRF波德图如下：
一种确定阻尼比的方法是在频响函数共振频率处采用“3dB法”，也称“半功率法”。阻尼和FRF共振峰峰值往下取3dB左右两边的频率宽度成正比。
通过下式求得阻尼因子，
其中，f0 为共振峰频率，f2 为共振峰往下取3dB右侧所对应的频率，f1为共振峰往下取3dB左侧所对应的频率。
其中，η 为衰减因子，Q 为阻尼因子，ζ 为阻尼比，%Cr 为临界阻尼百分数 (%Cr=100%xζ)，ϕ 为周期应力和应变的相位角。
为了计算阻尼因子Q=f0/(f2-f1)，需要确定三个频率：FRF峰值所对应的频率f0 以及峰值下降3dB所对应的频率f2和f1。频率分辨率在计算中起关键作用，因为分辨率不足，计算出的Q值出现多个数量级的偏差的现象是很常见的。
对于特定的材料，其阻尼比ζ 在一定的范围内，频谱分析要求在较低的共振频率处具有更高分辨率。举个例子，假设某种材料的阻尼比约为0.001，当共振频率为1000Hz时，f2 和f1 处的频率分辨率必须小于1Hz，当共振频率为10Hz，f2 和f1 处的频率分辨率必须小于0.01Hz。
3. 振动台振动控制
在许多振动控制测试中，频率轴通常是用对数刻度而不是线性刻度绘制的。下面两图是Mil-810中典型的测试配置目标谱：
在介绍多分辨率频谱分析法之前，我们知道目前市场上所有振动控制器都使用在分析频率范围内频率分辨率均匀的FFT算法。换句话说，我们将多分辨率频谱分析法应用到振动控制器上是史无前例的。
三、多分辨率频谱分析介绍 由晶钻仪器公司研发的多分辨率频谱分析方法是对单通FFT的一种改进。它的基本原理是对相同的输入时间流信号进行两通或多通的FFT变换，然后在频域中合成一个频谱。下图两通FFT的工作示意图：
当多个通道的时域信号输入时，信号处理器将分块接收，并通过FFT将时域块信号转换成频域信号。同时，对原始时域信号应用滤波器，生成较低频率的时域信号。FFT的第二通对较低频率的时域信号使用较高分辨率的FFT变换，生成频谱。最后，信号处理器将两组频谱综合在一起，合成的频谱有两种不同的频率分辨率，一种为dF，另一种为dF/M，其中M是采样因子。
上面我们简单地描述了多分辨率频谱分析法的过程，然而实现起来是非常复杂的，有很多细节需要考虑，包括：
· 如何进行重叠处理;
· 使用哪种类型的滤波器，FIR还是IIR;
· 滤波器的滤波延时会有什么影响;
· 滤波器的相位畸变会有什么影响;
· 采样因子从2、4、8中选取还是取其它的值;
· 如何将平均应用于多通FFT;
· 这种方法对什么类型的信号适用?对什么类型的信号不适用;
· 如何将数据窗口应用于多通时域信号。
晶钻仪器公司的产品在应用多分辨率频谱分析方法时，上述问题都得到了解决。产品软件不仅可以进行多分辨率频谱分析，还可以存储数据、显示结果和生成报告。
抽样过程中生成连续的时间流信号，因此连续信号比瞬态信号更适合使用多分辨率频谱分析法。例如，锤击试验通过产生瞬态信号来计算FRF，它就不适合使用多分辨率频谱分析法。
四、将多分辨率频谱分析法应用于结构振动分析 1. 模态分析
我们通过一个模态试验来比较多分辨率频谱和单分辨率频谱。被测结构是一块钢板，用弹簧绳垂直悬挂，以模拟自由边界条件。用振动台产生的白噪声来激励钢板，用单轴加速度传感器采集钢板的响应信号。下面描述测试配置的详细信息：采样率51.2kHz，分析频率范围23kHz以内，块大小4096，谱线数1800，频率分辨率12.5Hz，通过汉宁窗减少信号泄露，用平均次数为32的线性平均模式来计算谱。利用多分辨率频谱分析在低频段获得1.56Hz (12.5Hz的1/8) 的分辨率。低频段和高频段的划分频率是2812.5Hz。在低频段，由于分辨率提高，多分辨率谱的结果更好。在高频段，多分辨率频谱和单分辨率频谱具有相同的频率分辨率，因此得到相似的结果。多分辨率频谱和单分辨率频谱其它配置都相同。
下图是整个频率范围内的多分辨率谱和单分辨率谱：
对多分辨率频谱的高分辨率段进行放大，和单分辨率频谱相比，得到如下频谱图：
在低频段，多分辨率频谱比单分辨率频谱分辨率要高得多。从图中可以看出，多分辨率频谱由于块大小更大、谱线数更多，峰值显示更清晰。多分辨率频谱比单分辨率频谱的频响函数曲线更光滑整洁。这有助于更好的计算FRF的质量因子和峰值。如下表所示，从表中可以看出，在低频段出现四种共振频率，在多分辨率频谱下Q 和FRF峰值要高很多。此外，在高频段，由于单分辨率谱和多分辨率谱的分辨率是相同的，因此Q 和FRF峰值也非常接近。常规FFT变换的Q 和FRF峰值与真实值相差十个或数百个数量级，如果人们用这些错误的值进行分析，对结构进行优化，得出结果必然是错误的。
2. 随机振动控制
将多分辨率频谱分析方法进一步应用到振动控制中，这意味着将通过基于多分辨率频谱分析方法的频谱计算输出信号。为了在保持合理的反馈控制时间内同时提高低频段和高频段的控制性能，可以在控制过程中对低频段和高频段应用不同的频率分辨率。晶钻仪器公司的随机振动控制器产品将多分辨率频谱分析法应用于计算所有功率谱、传递函数矩阵和振动台的驱动信号。
由于低频段的驱动信号计算包含很多的细节，因此我们需要对低频段使用更高的频率分辨率。初始阶段将用户定义的目标谱分成高频和低频两段。晶钻仪器公司的Spider振动控制器将在这两段目标谱上工作。
下面我们对单分辨率频谱控制和多分辨率频谱控制进行比较。下图FFT谱线数为400，频率范围2kHz。单分辨率频谱只有5Hz一种频率分辨率，多分辨率频谱低频段分辨率为0.625Hz，高频段分辨率为5Hz。图中绿线为目标谱，黑线为单分辨率频谱控制曲线，蓝线是多分辨率频谱控制曲线。
我们将单分辨率频谱和多分辨率频谱的控制曲线分开绘制。显然，多分辨率频谱比单分辨率频谱控制得好。
五、结论 信号分析仪采用FFT算法对时域信号变换后，生成的频谱只有均匀的频率分辨率。然而，机械结构和声学应用中的很多问题要求频谱在低频段有更高的频率分辨率。由晶钻仪器公司研发的多分辨率频谱分析法可以将时域信号转换成具有两种以上的频率分辨率的频谱。该方法已经成功应用于随机振动控制、动态信号分析和模态测试中，可以大大提高分析精度。
参考文献：
. Cooley, James W.; Tukey, John W. (1965). "An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series". Mathematics of Computation. 19 (90): 297–301. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0178586-1. ISSN 0025-5718.
. Dynamic Signal Analysis Basics(Product Note #001, 32 pages, 1.1 MB, Crystal Instruments)
Describes the basic dynamic signal analysis theory including Fourier Transform, data windowing, linear spectrum, power spectrum, cross spectrum, FRF and coherence, averaging, transient capture and hammer test, overlapping process, SDOF system. Read online here.
. V. Adams and A. Askenazi, Building Better Products with Finite Element Analysis, OnWord Press, Santa Fe, N.M., 1999.
来源：杭州锐达数字技术有限公司微信公众号，作者:James Zhuge，翻译:杭州锐达数字技术有限公司。
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