趣味力学之：呼啦圈中的力学原理
体育和娱乐活动里将细藤圈作为道具有着古老的历史。投掷细藤圈以套中地面目标为乐的游戏在我国流传已久，也曾是古希腊的运动项目。在现代体育的艺术体操中，大藤圈也是规定的道具之一。将大藤圈套在身上靠扭动腰肢旋转的游戏最早出现在1957年的澳大利亚，一家Toltoy 玩具公司用竹制成这种细圈，后来改为塑料圈，一年内售出了40万只。看到商机的两个年轻美国玩具商将这个新奇玩意带到美国，竟成为老少咸宜的娱乐活动席卷全国。由于扭动身体的舞姿很像夏威夷土著称为Hula 的草裙舞，呼啦圈 (Hula hoop) 从而得名。全美呼啦圈竞赛每年举行，最长呼啦圈旋转时间、最大最重的呼啦圈、一次转动最多的呼啦圈、边转呼啦圈边跑的最长距离等世界纪录，不断刷新。呼啦圈于80年代传入我国，成为一种减肥瘦身的健身运动，也成为杂技舞台上的新节目 (图1)。2020年，一位90后女孩竟能一次转动300个呼啦圈，创造了吉尼斯世界纪录。图1 呼啦圈表演
呼啦圈的玩法并不复杂。将一个呼啦圈套在腰部用力一甩，让它围绕身体旋转起来，然后不停地扭动腰肢，使呼啦圈持续地旋转（图2）。扭腰动作愈剧烈，呼啦圈转动愈快，愈不容易往下掉。不过对于初学者，这种看似简单的动作也必须多次练习才能掌握。
图2 扭动腰肢转动呼啦圈
从力学观点分析，呼啦圈是圆环在非定常单面约束下的三维运动。为便于分析，将复杂的动力学问题分两步进行。先不考虑圆环沿垂直方向的运动，仅讨论在水平面内的平面运动。设O0 为此平面内的固定点，以O0 为原点建立惯性坐标系 (O0-xyz)，z 轴为垂直轴，x、y 轴在水平面内。设转呼啦圈的人十分发福，用一个圆柱体近似地代表身体，以半径为r 圆心为O1 的圆C1 表示圆柱体的截面。C1 的中心 O1 围绕固定点O0作半径为a 的匀速圆周运动。站立在原地的人绕垂直轴不能转动，只能随同O1 点平动。将一个比圆柱体大的半径为R 的刚性圆环C 套在圆柱体上，R>r。设圆柱体与圆环在接触点P 处无滑动，速度的大小和方向均保持一致。
设在t=0初始时刻，O1 点的初始位置为O10，与圆环和圆柱体接触点P 的初始位置P0 均在y 轴上。圆弧C 与C1 在P0 点处相切，圆环C 上与P0 重合的接触点为Q0（图3）。设在t 时刻，圆柱体中心O1 沿半径为a 的圆轨迹C0 绕O0 转过φ 角从 O10 转至新位置O1，∠O10O0O1=φ。圆柱体C1 随O1 平动至新位置，与圆环的接触点移至P 点，圆环C 上与P 点重合的接触点为Q 点。接触点的原位置P0 和Q0 亦随同圆柱体和圆环的运动改变位置。平动刚体C1 在P 点处的速度与O1 点相同，均为vP=a(dφ/dt)，设P 点相对O1 点转过的角度为∠P0O1P=ψ，C1在P 点处的速度应同时满足vP=r(dψ/dt)，从而导出dψ/dt=(a/r)(dφ/dt)。以ψ=φ=0为初值，积分后得到ψ=aφ/r。圆环C 上的接触点Q 相对圆环中心O 转过的角度为∠Q0OQ=θ，依据接触点处无滑动的基本假设，P0P 与Q0Q 弧长相等，rψ=Rθ，得出θ=rψ/R。O1、O、P(Q) 三点共线。
图3 受约束圆环在水平面内的运动
利用矢量式O0O=O0O1+O1O，导出圆环C 的圆心O 沿x、y 轴的坐标：
设O1 绕O0 转动的角速度为ω0=dφ/dt，圆环C 在C1 上的滚动角速度为ω=dψ/dt，则ω=aω0/r。圆环C 的转动角速度Ω=dθ/dt 不同于滚动角速度ω，二者之间有以下关系：
作为两种极端情况，C1缩成一点时r=0，Ω=0，圆环角速度为零。C1 与C 的半径相同时r=R，圆环角速度与滚动角速度相等，Ω=ω。将下式对t 微分两次
得到
设圆环的质量为m，圆环在接触点P 处受到圆柱体的法向约束力Fn 和切向摩擦力F的作用。列写圆环在 (x, y) 平面内的质心运动方程：
将
代入
且代入ω=aω0/r，解出
其中，γ=φ-ψ 为O1O0 与O10的夹角
下式中的摩擦力F 满足库伦摩擦定理
以静摩擦因数f 为比例系数：
下式表明圆柱体对圆环的法向正压力Fn 和摩擦力F 均来源于腰肢的扭动。
单面约束条件Fn>0在a=0时，即腰肢不扭动时也能满足，但切向摩擦力消失。若初始时甩动圆环产生滚动角速度Ω，依靠惯性应也能继续滚动，但不可能持久。因为缺少腰肢扭动提供的驱动力F，而柔软的身体与圆环接触点处存在因变形引起滚动力偶Mf。Mf 与正压力成正比，Mf=δFn，比例系数δ 为滚阻系数，取决于圆环和身体接触区的范围。圆环在圆柱体扭动产生的摩擦力F 的推动下，角速度Ω 应满足动量矩定理：
其中，J=mR2为圆环对中心轴的惯性矩。可据此做出判断：
仅当FR≥δFn 条件满足时，呼啦圈的旋转运动方可能持续进行。
分析了水平面内的运动以后，下一步分析呼啦圈在垂直平面 (x, z) 内的运动（图4）。旋转中的呼啦圈能否往下掉落，取决于圆环的重力mg 与P 点处沿垂直方向的摩擦力Fz 能否平衡。由于最大垂直静摩擦力为fFn，沿z 轴的平衡要求满足
图4 受约束圆环在垂直平面内的运动
圆环的滚动角速度愈大，正压力和摩擦力愈大，圆环越不会掉落。将下式代入上式
导出
其中，ω0,cr 为腰肢扭动的临界角速度，只要扭动角速度ω0 超过此临界值，呼啦圈就不会掉落。
从图4看出，圆环的重力mg 与摩擦力Fz 构成一对力偶mgR。因此，圆环平面必须偏离水平面一个微小角度ε，使圆环的离心惯性力Fc 与法向约束力Fn 以Rε 为力偶臂，构成方向相反的另一对力偶以保持平衡：
从中导出圆环的偏角ε：
圆环的转动角速度Ω 愈大，偏转角ε 就愈小，圆环愈接近水平。更准确的分析还必须考虑圆环转动的惯性效应，即由于圆环偏转使角速度矢量Ω 偏离圆环主轴而引起的陀螺效应。
呼啦圈运动简便易行，不须进健身房就能起健身作用而受到欢迎。不过呼啦圈是强度很大的运动，主要靠腰部用力。过度用力可能会引起腰肌和腰椎的劳损，反而得不偿失。这倒是喜爱呼啦圈运动的朋友们要引起注意的。
改写自：刘延柱. 呼啦圈的力学. 力学与实践，2010，32(1): 102-104
刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.2节. 北京：高等教育出版社，2018）
来源：刘延柱科学网博客，作者：刘延柱。
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