声学测量与分析：阶次分析的含义和功能
引言旋转或往复式机械的噪声与振动信号的分析，例如汽车的发动机、发电机以及电动机等。这些机械通常具有，例如转轴、轴承、齿轮箱、风叶、耦合节以及传声皮带等不同的机械部件，在机器运行过程中，每个机械部件产生的噪声和振动都具有独特的特征，并在机器总的噪声和振动辐射中，产生特有的成分。在噪声与振动控制设计(如汽车NVH设计)中，识别或分解出振动噪声与其对应的振动发声部件的对应关系，就可以在相应的部件上改善设计或采取抑制措施。阶次分析是旋转或往复式机械振动或噪声信号分析中的重要方法。阶次的定义和计算机器的旋转部件在运行时产生的振动或噪声响应，将随着转速的变化而变化。阶次是反应结构部件旋转产生的振动或噪声响应与转速之间的对应关系的量，被定义为转速的倍数。阶次、转速和振动或噪声频率之间的关系可表示为：
式中f表示频率(Hz)，RPM表示每分钟的转速(1/min)，N为阶次数。
根据上式，我们可以计算不同转速条件下，不同阶次所对应的频率，如下表给出示例。
【例1】以下图1中的9叶冷却风扇为例，其中间的转轴每转动一圈为一个周期，所以中间转轴的阶次是一阶。该风扇的叶片数为9片，其中间的转轴每转动一圈，叶片经过某一点的次数(叶片的通过频率)为9次，因此，叶片的阶次是九阶。
图19叶冷却风扇(图片来自网络)
如果该风扇以RPM 3000转运转，则：
中间轴的振动或噪声频率：f1=1*3000/60=50Hz
叶片的振动或噪声频率：f9=9*3000/60=450Hz
【例2】如下图2中的2极异步电机，电机的馈电交流电频率为工频50Hz，电流的极性变化一次转轴旋转一周，即其噪声的基频为50Hz，那么：
阶次为一阶时转速则为RPM=1*50*60=3000 rpm
阶次为二阶时转速则为RPM=2*50*60=6000 rpm，
阶次为三阶时转速则为RPM=3*50*60=9000 rpm，如此类推。
图22极异步电机(图片来自网络)
【例3】如下图3中的4冲程4缸发动机，其中4个冲程分别进气、压缩、做功（燃烧）和排气。曲轴转动一周为上下运动一个来回完成2个冲程，那么4个冲程完成需要曲轴转动2周。因此，对于单缸的发动机，燃烧的阶次为曲轴的转动周期的1/2倍，那么对4缸发动机来说，燃烧的阶次为4*(1/2)=2阶。因此，4缸4冲程发动机的主要振动和噪声阶次为二阶。同理，对于6缸4冲程发动机的主要振动和噪声阶次为三阶。
图34冲程发动机的工作原理(图片来自网络)
阶次分析的物理本质我们通过对比频谱分析与阶次分析，来说明两者的不同特征。
频谱分析是振动和噪声信号分析中的最常用的方法。频谱分析展示的是噪声或振动信号的幅值随频率的变化特征，由此展现出来的图像通常称为频谱图。如下图4(a)，通过在旋转电机上安装加速度传感器测量振动信号，可以进行振动信号的频谱分析，而且频谱分析是基于时间周期的(意即频率表示噪声或振动事件每秒发生的次数)；阶次分析记录的则是噪声或振动信号的幅值随转速(RPM)倍数，即阶次的关系，由此展现出来的图像通常称为阶次谱图。如下图1(b)，通过在旋转电机上再增加转速传感器，可以进行振动信号阶次分析，阶次分析是基于旋转周期的(意即阶次表示噪声或振动事件每圈发生的次数)。
(a) 频谱分析-时间周期 (b) 阶次分析-旋转周期图4 旋转电机的振动信号分析
图2中介绍的2极异步电机，馈电频率为50Hz，转速则为3000 rpm为其一阶转速，对应的二阶转速为6000 rpm，三阶转速为 9000 rpm。图5中分别给出了该电机的频谱图和阶次谱图，由此我们可以看到同一个问题在不同分析方式下的展现形式和特点。
(a)频谱图 (b) 阶次谱图图5 旋转电机的振动信号分析
阶次分析的特别用途那么，采用阶次谱的方式分析具有什么优势呢？或者说，为什么要进行阶次谱分析呢？
如下图6，我们以一个转速变化的冷却风扇为例，风扇的发声部件包含了转轴、叶片以及线圈等几部分，风扇在转速变化的运行中(例如电脑的冷却风扇的转速会从1000RPM提升到4000RPM)，总的辐射噪声是这几部分的叠加。
图6 冷却风扇噪声发声部件(发声源)
如果风扇辐射的噪声用频谱图来展现，我们会发现，噪声频率将随着转速的提升而升高，即同一部件的发声频率在一定的频段范围内变化。也就是说，在以频率为横坐标的图中，与转速相关的噪声信号的频谱线是在移动的。如图7所示，如果将测量的转速变化区间一段时间内的噪声信号用平均噪声频谱表现出来，就会使得各个谐波成分的频带展宽，出现不同发声部件之间的噪声频带重叠等情况，区分不出某个频段的噪声的贡献源。如图7中的高亮区域，包含了来自转轴、叶片以及线圈的噪声在不同转速时的贡献。
图7 转速变化的冷却风扇噪声频谱图
如果我们采用阶次谱图，即横坐标为阶次时，与转速相关的振动或噪声信号的阶次谱线是固定不动的。如图8为转速变化的风扇噪声测量信号的阶次谱图表示。从图中可以发现，不仅可以看出各个发声部件的准确峰值，还能辨识出各个部件的贡献量的大小。
图8 转速变化的冷却风扇噪声阶次谱图
阶次特征的表现方式在进行信号的时频分析的时候，我们知道要表现信号的幅值同时随时间和频率两个参量的变化，可以用时频瀑布图(waterfall)或者时频色彩图(colormap)两种形式来展现，色彩图其实是三维瀑布图的二维表现形式，通过颜色的变化来表示第三维的幅值。由于二维的色彩图使用起来更加方便，因而色彩图被越来越多使用。这种图通常称为谱图(spectrogram)。
在阶次特征的呈现中也一样，可以采用3D的瀑布图以及2D的色彩图来表示幅值随频率和转速两者的变化关系。图9中给出转速-频率的谱图(RPM-frequency spectrogram)的瀑布图和色彩图两种表现形式，其实质是一样的。
图9 某信号的转速-频率谱图(图片来自文献1)(a. 瀑布图 b. 色彩图)
5.1 转速-频率谱图
图10中给出的是汽车发动机噪声的转速-频率表示形式的谱图，其中横坐标为频率，纵坐标为转速。由于其中确定部件辐射的噪声频谱会随着转速升高而频率越来越高，因此在谱图中可以看到越往高转速，频率也移向高频的多根斜线，这不同的斜线即为不同的阶次(图中标示出2阶和4阶的位置)。在谱图的右侧有一根亮度条，标示出不同颜色所表示的声压级。
有时候或者有的计算软件也将转速-频率谱图表示成频率-转速谱图的形式，即横坐标为转速，纵坐标为频率。这时候需要注意，在这种表示方式下，位于右下侧的直线为低阶次，而位于左上方的阶次为高阶次。这跟我们示例图中的阶次增长方向正好相反。
图10 阶次谱图的转速-频率表示形式
5.2 转速-阶次谱图
阶次谱图的另外一种展现方式为转速-阶次来表示的谱图，如图11中其中横坐标为阶次，纵坐标为转速。由于其中确定部件辐射噪声阶次跟转速是固定不变的关系，因此在谱图中可以看到不同阶次的竖线。同样，在谱图的右侧有一根亮度条，标示出不同颜色所表示的声压级或者加速度级。
在阶次-转速表示的谱图中，将横坐标表示为转速，纵坐标表示为阶次，这时候的谱图中不同阶次表现为一条条横线的形式。
图11 阶次谱图的转速-阶次表示形式
5.3 阶次切片图
如果为了研究某个或者某几个阶次噪声辐射随转速的变化情况，可以将这些阶次在不同转速条件下的幅值信号提取出来，形成噪声幅值随时间(或者)转速的变化曲线，通常将这样的表现形式称为阶次切片图。如图12为在ATOM软件中展现出来的某四缸发动机试验车二挡加速车内噪声的2、4、6、8阶以及总声级的计算结果。
图12 ATOM软件中的多阶次展现示例
阶次切片除了可以把不同阶次的展现在一起进行对比分析，也可以把同一阶次在不同工况下(采用不同噪声控制策略)的变化进行比较。如图13中展示了车内有源噪声控制采用不同的控制策略时二阶信号在2个不同传声器位置处的切片图。
图13 不同控制策略下二阶的阶次切片图比较
ATOM中阶次分析的设置在ATOM软件系统中具有完整的阶次分析功能。在ATOM软件中，在频谱分析的同时就能进行阶次的分析计算，展现前文所述的各种功能和表现形式。在ATOM的阶次分析功能板块(Order Section)中可以设置阶次分析的各项参数，包括阶次宽度、阶次百分比、谱线个数等来计算阶次对应的频率范围。
图14 ATOM软件中的阶次参数设置示例
对于前文所介绍的阶次切片，在ATOM中设置了基于色彩图(Colormap)用光标选取所关心的阶次，即展示出所选取的各阶次的切片结果。
图15ATOM中基于色彩图光标选取阶次切片功能
参考文献
1. Di Lorenzo E., Manzato S., Peeters B., Marulo F., Desmet W. (2017) BestPractices for Using Order-Based Modal Analysis for Industrial Applications. In:Mains M., Blough J. (eds) Topics in Modal Analysis & Testing, Volume 10.Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series.Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-54810-4_9
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