倍频程与分数倍频程计算详解
导读：振动与噪声信号经常采用倍频程和分数倍频程分析（倍频程和分数倍频程以下统一用1/n倍频程表示），但是想要准确地计算1/n倍频程需要注意许多细节。本文先对1/n倍频程的相关概念做简单介绍，然后介绍1/n倍频程的基于窄带谱叠加算法和基于时域倍频程滤波算法的计算流程。
概数 1/n倍频带是指频率上具有一定宽度的一系列频带，每个频带的截止频率上限除以下限具有固定的关系。要确定1/n倍频带中各个频带的中心频率，上下限截止频率范围，需要引入如下概念：
1. 倍频程比
倍频程比通常记为G，其标称值为2:1。可以采用以10为底或者以2为底的方法来计算倍频程比。对于以10为底的系统和以2为底的系统，倍频程比的值有微小的差别，计算公式分别如下：
· 以10为底的系统：
· 以2为底的系统:
标准《IEC61260-1-2014 电声学.倍频程和分数倍频程滤波器.第1部分》中规定了选用以10为底的系统，标准《GB/T 3241-2010 倍频程和分数倍频程滤波器》中规定了选用以10为底或以2为底的系统，但建议优选以10为底的系统进行滤波器的设计。
注意：虽然以10为底和以2为底的计算方法得到的倍频程比的差别较小，但是计算得到的准确频带中心频率和上下限截止频率还是存在一定差别。因此，在进行数据对比验证时，建议采用相同的计算方法。
2. 带宽指示值
用包括1在内的正整数的倒数来指示倍频程带宽的分数，通常记为1/b。例如振动与噪声信号分析中常用的1倍频程和1/3倍频程分析中的b分别等于1和3。多数振动与噪声分析商用软件中包含或部分包含: 1，1/3，1/6，1/12和1/24倍频程。b的取值越大，频带被分的越细，例如：1个1倍频带内包含了3个1/3倍频带。
3. 基准频率
为了确定1/n倍频程每个频带的准确中心频率和上下限截止频率，需要选取一个基准频率作为计算的基准。通常规定fr=1000Hz为基准频率。有了基准频率之后，才能以该频率为基准，计算其它频带准确的频带中心频率和上下限截止频率。
4. 准确的频带中心频率
规定了1000Hz为准确的中心频率后，可以计算其它各个频带的准确中心频率。因为任何两个相邻频带的准确中心频率的比值是相同的，具体数值取决于倍频程比G 和带宽指示值1/b。
当带宽指示值的分母b为奇数时（如：1和1/3倍频程），任何一个频带的准确中心频率的计算公式如下：
当带宽指示值的分母b为偶数时（如：1/6和1/12倍频程），任何一个频带的准确中心频率的计算公式如下：
其中，x 为任何正整数，负整数或0。
注意：对于带宽指示值的分母b为奇数时，x=0得到的准确中心频率为1000Hz，等于基准频率。但对于带宽指示值的分母b为偶数时，不会存在中心频率为1000Hz的频带。
5. 标称中心频率
为了方便，取中心频率的近似作为标称中心频率用于标识某个频带。但是进行1/n倍频程计算时，应取准确的中心频率进行计算，标称中心频率只是更为方便进行操作（如数据显示，存储时作为某个频带的标识）。
当x 取不同值时，得到的fm 即为1/n倍频带各个中心频率的准确值。表1以1/3倍频程为例，采用以10为底和以2为底的计算方法，取x=[-16~13]时的各个频带的标称中心频率和准确的中心频率。
表1 1/3倍频程标称中心频率及准确中心频率由上表可知，采用以10为底和以2为底计算得到的准确中心频率在某些频带存在较大差异，因此在进行1/n倍频程分析结果对比时，应采用相同的计算方法。
6. 截止频率
对于1/n倍频带，准确的中心频率是下限和上限截止频率的几何平均。用fL 和fU 分别表示下限和上限截止频率，则公式如下：
计算流程 了解了上述基本概念后，人们自然会想到如何计算一个信号的1/n倍频程。通常，1/n倍频程的计算方法有两种。在过去的傅里叶变换计算效率较低时，往往通过对原始时域数据直接进行时域滤波来得到各个频带结果，通过设计各种模拟时域滤波器可以实现对信号的频带滤波。随着计算机运算效率的提高，可以直接通过窄带频谱的能量叠加计算各个频带的结果。以下先对两种方法的计算流程进行简单概述。
1. 基于时域倍频程滤波的算法
时域倍频程滤波的方法可以采用时域模拟或数字的滤波器对原始信号进行处理，根据需要获取的频带数量，需要选用对应数量的带通滤波器，常用的参照标准为《IEC61260-1-2014 电声学.倍频程和分数倍频程滤波器.第1部分》。计算框图如下：
图1 时域倍频程滤波计算流程
计算流程较为简单，根据需要计算的1/n倍频程的频带，对原始时域数据进行各个频带的时域滤波，得到一系列带通滤波后的时域数据；对各个滤波后的时域数据计算RMS值作为该频带的结果。
时域滤波计算方法的关键是带通滤波器的设计，滤波器需要满足标准中1或2级滤波器的要求。因此需要考虑滤波器的类型和阶数等设计参数，保证通带和阻带内的特性满足要求。
2. 基于窄带频谱叠加的算法
基于窄带频谱叠加的方法需要先对原始时域数据添加窗函数，进行傅里叶变换，得到窄带的幅频谱（相频特性在1/n倍频带的计算过程中不需要考虑）。因为1/n倍频程的结果属于频带内的能量叠加，因此若窄带频谱对窗函数采用的是幅值修正，则需要先将该频谱转化为能量修正，再将完全或部分落在某个频带内的窄带谱采用不同权重系数进行能量叠加得到该频带的结果。计算框图如下：
图2 窄带谱叠加计算流程
来源：Simcenter TEST微信公众号（ID：oceanbig_zhang）
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