应县木塔的静力学浅析
应县木塔位于山西省北部，朔州应县佛宫寺内，全称“佛宫寺释迦塔”，是我国如今唯一保存完好的木构塔式建筑。据明万历年间田蕙（字应芳，号绎斋，今山西应县人，1535-1610）《应州志》记载，应县木塔于辽代清宁二年（1056，北宋至和三年）由田和尚奉敕募建，至金代明昌六年 (1195) 增修益完（修建年代学界有争议）。如图1所示，塔身自下往上分为四个部分：第一部分是砖石阶基，高4.40m；第二是木塔塔身，高51.14m；第三是砖刹座，高1.86m；第四是最上的铁制塔刹，高9.91m。全塔总高度67.31m，大约相当于今天的21-24层楼的高度（按楼层高2.8m-3.2m计算）。
图1 应县木塔整体及局部图（来源：网络搜索）
世界高层建筑委员会（属联合国教科文组织）曾建议将高层建筑分为四类：I类为9-16层，高度不超过50m；II类 为17-25层，高度不超过75；III类 为26-40层，高度不超过100m；IV 类为40层以上，高度在100m以上。可见，在这一标准中，应县木塔可归类为II类高层建筑。但不要忘记，这是960多年前的木建筑，而且全塔无钉无铆，仅使用榫卯连接，在当时的科技条件下建造II类高层建筑，其高超的建筑水准可见一斑。
相比于低层建筑，高层建筑高度跨度大，随着高度的增加，侧向载荷（如横向风载）将表现出非线性快速增加的趋势，如图2(a)所示。由此引起的结构内部的水平位移/内力随高度的变化规律也将发生不同的变化。如图2(b)所示，高层建筑内竖向轴力随高度按照线性规律增加，弯矩则按照二次规律增加，水平位移则以四次规律增加。
图2 高层建筑随高度增加载荷、内力、水平位移的变化趋势彭伟《高层建筑结构设计原理》
我们通常见高层建筑施工时都会有一个很深的基坑，如果是地质条件较差的地区还需要打桩，相当于增加了建筑的埋深。一般规定桩基深度不小于建筑总高度的1/18，桩基所受的约束就像固定端，因此，在力学上，常将高层建筑简化为竖立的“悬臂梁”（承受压弯组合变形）。
图3 高层建筑的“竖悬臂梁”模型（其中，Δ表示水平位移，M表示高层建筑截面弯矩，N表示高层建筑截面轴力）
为简化分析，我们假定侧向风载为均匀载荷（实际上，风载随高度变化，且具有随机性），以此画出高层建筑的变形曲线、轴力、剪力图如图4所示。
图4 高层建筑的内力和位移分析
依据轴力图和弯矩图，高层建筑适合采用自下而上截面逐步收缩的变截面造型，可达到依次增强低层区承载能力的目的。应县木塔就采用了这样逐步内缩的整体造型，连接2层以上各层外檐柱柱头，它们大致落在同一条直线上，由此大致可推测出应县木塔的内缩角度大约在8°左右（依图5(a)比例量得）。
我国古建筑另一个神奇之处在于，它不像现代建筑那样，利用基坑把建筑深深的“埋”入地下，而是通过很大的基座平台将建筑“放”在基座之上。“埋”入地下的做法相当于固定端，可为高层建筑提供足够抗倾覆力矩，以确保建筑的稳定性。虽然应县木塔基础的细节还不完全清楚，但根据其它古建筑的经验，应县木塔应该也是“放”在基座之上，巨大的砖石阶基就是证据。那么，应县木塔如何提供建筑的抗倾覆力矩呢？
这主要涉及到三个方面：首先，向上收缩的变截面保证了木塔的中心尽可能地在中线上，横向载荷产生的倾覆力矩在各方向相同，所需的抗倾覆力矩在各方向也相同；其次，应县木塔第一层直径较上面各层直径有明显的增加，对于没有大底座的建筑（参见图5(b)），在横向载荷下，地面支撑力与重力形成抗倾覆力矩较小（d很小），若横向载荷偏大极有可能翻到，但如果有大底座（参见图5(c)），一方面它降低了建筑整体的重心，另一方面使得地面支撑向外移动，这就大大增加了建筑的抗倾覆能力；最后，古建筑的屋顶通常都很重，增加了建筑物的重量G，也起到了增加抗倾覆能力。
图5 自下而上逐渐内缩的造型
应县木塔正是利用上述三点，虽然貌似“放”在基座上不如埋入地下稳定，但实际上，在较大重量和底座的配合下也可以获得足够的抗倾覆力矩。值得注意的是，这种“放”在基座上的建筑保留了一定的自由度，在遇到如地震等强外载荷时，建筑可以产生一定范围内的“移动”，从而消耗强大的能量输入。据统计，应县木塔建成至今，共经历了40余次地震，200余次枪击炮轰，却安然无恙，令人不由得为之惊叹、称奇。
在我国的《高层建筑混凝土结构技术规程》中，高层建筑被分为A级和B级两类，这种划分没有明确指明楼高，而是将其与结构形式、抗震设防烈度相关联。表1给出了几类典型结构体系对应抗震设防烈度下的最高楼层高度，从中可以看出，筒中筒结构在相同抗震设防等级下，能取得最高的高度，体现了筒中筒结构的合理性。应县木塔就采用了这样的筒中筒结构体系。
表1 A级钢筋混凝土高层建筑的最大适用高度顾名思义，筒中筒结构体系由内筒和外筒两层组成，如图6所示。常见的外筒形式包括钢框架筒（框架结构）、桁架筒（有明显的节）和网格筒（外筒看不到节，但内部与内筒以节相连）三种，内筒有桁架筒和剪力墙筒体两种形式。
图6筒中筒体系举例（来源：网络搜索）
筒中筒体系的设计灵感很可能来源于竹。竹有两个明显特征：有节、腹空。正是这两个特征才使得竹可以高耸挺拔，直入云霄。依旧采用“悬臂梁”模型，看竹在强度、刚度、稳定性三方面的特点，以体会筒中筒结构的优势。
从强度条件看，高耸的竹子侧向载荷显著，强度主要考虑弯矩应力，最大弯曲应力的求解公式为
其中，Wz 为抗弯截面系数，由上式可知该系数越大，求得最大应力越小，结构的安全储备就越多，结构越安全。
当外载荷确定后，梁所受最大弯矩Mmax 即为常数，其强度取决于抗弯截面系数。假设有空心和实心梁。设空心梁外径为D空，实心梁外径为D实，设空心梁内外径之比α 固定为0.9，且空心和实心梁抗弯截面系数相同时，有
则，两者的面积之比为
这意味着，在相同强度条件下，空心结构的重量几乎只是实心结构的38% (1/2.58)。同理，如果假定两种结构的重量相等，即横截面面积相等（设高度相等），有
其抗弯截面系数之比为
这说明在同等重量下，实心梁的抗弯截面系数只有空心梁的24%。可见，合理的设计“腹空”结构，可在减少重量的同时提高结构的抗弯截面系数。
再考虑刚度条件，在均布载荷下，梁的最大挠度为
对于确定的高度、载荷、材料，q、H、E 均为常数，因此与截面形状有关的截面惯性矩就成为影响最大挠度的关键量。这里，EI 被称为抗弯刚度，显然，抗弯刚度越大，产生的位移越小。仿照前面分析，同样可得，当结构取得相同抗弯刚度时，即
因此，两者的面积比为
说明考虑相同刚度条件，空心结构用材只有实心结构用材的1/3。如果考虑空心和实心梁横截面相同（两个直径比为0.436），抗弯刚度之比为
这意味着当空心梁与实心梁横截面积相等时，实心梁的抗弯刚度，只有空心抗弯刚度的10%，也意味着实心梁的最大挠度将是空心梁最大挠度的10倍。
由此可见，竹的“腹空”结构可极大的提高强度储备和刚度，增加高耸结构的稳定性。筒中筒结构相当于两个筒体耦合在一起，增加了筒的壁厚，但内筒与外筒之间形成的回廊增加了建筑空间，提高了适用性。
图7所示为应县木塔的结构体系，显然它和现代高层建筑的筒中筒结构十分类似。从一层结构来看，其内筒和外筒均采用了“柱框架+剪力墙”的结构，这就像是从框架结构过渡到剪力墙结构。从结构强度的角度来看，剪力墙可增强高层建筑的竖向承载能力和横向承载能力。
图7应县木塔的筒中筒结构（来源：网络搜索）
据说梁思成在1933年第一次测绘应县木塔时，木塔二层以上都有夹泥墙（做剪力墙使用），但在随后的一次修缮中，因相关专家认为剪力墙使得木塔看起来不够“玲珑剔透”，因此将二层以上的夹泥墙拆除，全部换成木格。等到梁思成再次关注到应县木塔时，心痛的说“现在不惟壁画失亡，且因改换格子门，拆去斜戗，危及塔身结构，比民国十九年战争中弹时损害尤烈，可谓为木塔八百余年以来最大的厄运。”如今，木塔二层已有明显的残损和倾斜变形，成为木塔的薄弱环节。
图8 左有夹泥墙的应县木塔和右侧更换木格后的木塔（来源：网络搜索）
最后考虑失稳问题。由于高层建筑属于“细长结构”，又承受巨大的竖向压力载荷，因此“压杆失稳”也是高层建筑必须考虑的。依据欧拉公式，求解压杆失稳的临界载荷为
这里，l 相当于楼的高度，μ 称为长度因数，与约束有关。由上述公式可以看出，当楼层越高，即l 越长，其临界载荷越小，就越容易发生失稳。不过，我们也应该注意到高层建筑竖向载荷的变化。由于高层建筑的竖向载荷主要来自于建筑的自重，因此，竖向载荷自上而下逐渐增加，越是下层受到的压力越大。
楼层很像竹子竹节的作用，竹节给“压杆”增加了约束，将长长的竹子划分为多个小段，每一段都是一个两端固定的压杆 (μ=0.5)，减小了欧拉公式中的l，使得每一段都是“短杆”而不是长杆，从而保证了在竖向载荷下的稳定性。
竹子的节总是下面的短、上面的长，这体现了竹子在抵抗压杆失稳时的“聪明才智”，由于下面的载荷大，短一些可提高失稳临界载荷，上面载荷小一些，可适当的增加长度，从而保证自身能够长的最高。高层建筑也是这样，底层区应该矮一些，高层区可以高一些。有的时候，一层需要某种使用功能，需要高开间，那么一层的柱或墙就需要做的粗壮、厚实一些（加大截面惯性矩I ）。如图9所示，应县木塔第一层开间大，柱径也明显大于其它层的立柱，增加柱径除了具有增大承载能力，也是确保立柱不发生“压杆失稳”的重要保证。
图9 应县木塔框架示意图（来源：网络搜索）
应县木塔塔身表面上看是5层，但实际上有9层，被称为5明层，4暗层（参见图10）。暗层的作用就像是竹子的“节”，它利用斜撑增加了暗层的刚度，使木塔整体表现出一刚一柔，刚柔并济的特点。从压杆失稳的角度看，缩短了压柱的长度，提高了承压柱的临界载荷。大概也因为此，有学者认为应县木塔不是简单的筒中筒结构，而应该是单层建筑的“叠摞”结构。
图10 应县木塔暗层示意图公众号：无用研究社
如果从力学分析角度看，分析“承压稳定性”（类似于压杆失稳），就需要将其视为“叠摞”结构模型，但是如果分析强度和刚度，则需要用筒中筒结构模型。根据分析目的的不同，变换力学模型，选取不同的研究对象，也是力学分析的基本特征。
在搜集应县木塔的资料时，读到上世纪30年代应县木塔拆除二层以上的夹泥墙引起塔身倾斜，心中五味杂陈。我们在欣赏木塔的艺术成就时，除了看得见的斗拱、壁画、牌匾之外，结构所遵循的、看不见的力学原理也应被视为艺术组成部分，只有这样，艺术才能具有长久的生命力。
如今木塔因倾斜，不再允许游客登塔，我在《无用研究社》和《朔州市文物保护与利用中心》公众号中看到了木塔内景的照片，优美壮丽的雕塑使人恍入仙境、心不染尘......
第1层 中央为高约十一米的坐佛第2层方形佛坛，一佛、二协侍菩萨及文殊、普贤坐像第3层八角形佛坛，坛上为四方佛，塑像朝向分别面对东、南、西、北四个方向。第4层 长方形佛坛，上设一佛、二弟子及文殊、普贤。第4层 局部第4-5层间暗层第5层方形佛坛，上设一佛八菩萨，菩萨按八角形布置环绕在佛像周围
（作者注：感谢天津大学王振东教授、太原科技大学刘利亭老师对我的帮助！）
参考文献
https://m.weibo.cn/status/4698760524071992
陈明达. 应县木塔. 文物出版社. 1980.
彭伟. 高层建筑结构设计原理. 西南交通大学出版社. 2004
孙宁, 张立彬. 竹子的力学特性. 力学与实践, 1997, 19(3).
http://minzunet.cn/mzwhzyk/674771/682343/732776/767965/index.html
杨娜, 郭丽敏, 永昕群,等. 应县木塔结构问题研究现状综述. 古建园林技术, 2021.
来源：力学酒吧微信公众号（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。
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