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病态矩阵

标签: 病态矩阵 线性方程组 反问题 小扰动 大误差

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       在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题,而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法,尤其是长方形、大型矩阵。目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。

  求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组Ax=b时,若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(AA)塣=bb的解塣与原方程组Ax=b的解差别很大,则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解塣一般都不可能恰好使剩余r=b-A塣为零,这时塣亦可看作小扰动问题A塣=b-r(即δA=0,δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。例如,取

病态矩阵

当以 病态矩阵 作为近似解时,剩余 r病态矩阵已很小,但塣与真解病态矩阵仍相差很远。
  判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看数值K(A)=‖A-1‖‖A‖的大小,其中A-1为矩阵A的逆,‖‖表示对矩阵取某一种范数。K(A)称为A的条件数,它很大时,称A为病态,否则称良态;K(A)愈大,A的病态程度就愈严重。
  对小扰动问题 (AA)塣=bb与原问题Ax=b的解有估计式

病态矩阵

对矩阵求逆亦有估计式

病态矩阵

从上估计式可以看出条件数对解方程组及矩阵求逆的影响。
  希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵,其定义为

病态矩阵

式中

病态矩阵

由于Hn对称正定,当取‖Hn‖为欧氏范数时,K(Hn)即为Hn的最大与最小特征值之比。对n=7,8,9,10有

K(H7)=4.75×108
K(H8)=1.53×1010 
K(H9)=4.93×1011
K(H10)=1.60×1013

  当n较大时,有近似表达式K(Hn)~e3.5n。在一台相当于10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解方程组时,如n≥8,则所得解答连一位准确数字都没有。

 

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