用11采样点构造1Hz的简谐信号，怎样做更好？

Rainyboy

写在前面的PS：试用了一下邀请功能……不知道有没有打扰到各位……如有冒犯，多包涵……

有一个简谐信号，假设为：y(t)=1*sin(2*PI*t)，显然其频率为1Hz，假如在一周期内以11个点来离散这个信号，我想与各位探讨如下两种方法的可行性和优劣。
方法一（后文图中的红色时序信号）：以采样频率fs=10Hz，即采样间隔dt = 1/fs = 0.1s，在采样时间1s内，对y(t)进行采样：
           Y_1(i) = y(i*dt) ; i = 0,1,...,10
方法二（后文图中的蓝色时序信号）：以频率分辨率1Hz，构造如下频谱：
           F_Real(i)    = [0,0,0,0,0,0];
           F_Image(i) = [  ,-1,0,0,0,0];
           将上述频谱作IFFT变换，同样可以得到以采样频率fs=10Hz，即采样间隔dt = 1/fs = 0.1s，在采样时间1s内的数据：
           Y_2 = IFFT(F_Real,F_Image);

按照上述假设算了一下，下面是用两种方法产生的序列的时序结果(红色的是方法一，蓝色的是方法二)：


分别对各自进行FFT分析，得（颜色约定同上）：





===========================================================

可以看到，第二种方法似乎破坏了时序信号在采样时间内的周期性（Y_2(1)不等于Y_2(0)），但是频谱却很干净……
第一种方法在采样时间内的周期性没问题，但是有不希望出现的频率成分……

当然，当取点数（采样频率）不断增大的时候，两种方法得到的结果趋于一致，但是我这里只是想探讨在采样频率并非远大于原信号时的构造方法。

我是这样想提出这个问题的：如果在瞬态动力学分析中，想给系统一个单频的激振力，如果采用方法一，似乎激振力的频率并不是单一的；而采用方法二，时域激励信号又包含冲击（每个周期的开始和结束）。

所以比较纠结，故来此征询：如果只有11个采样点，想要模拟一个1Hz的正弦信号，怎样更好呢？

mistuning

经过和Rainboy的讨论，我们一致认为这种现象肯定是由离散误差造成的，而且可以通过增加采样点来解决。由于这种离散误差的存在，我们不太可能同时得到精确的频域和时域信号，所谓“鱼与熊掌不能兼得”。

在进行时域信号的频率分析时，能否通过插值增加伪数据点来改善这种状况？

Rainyboy

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通过时域内插确实可以改善方法一的频率成分：


然而这实际上还是在某种程度上增加了信号的采样点数……

Seventy721

我想问题出在采样点的数目上。如果点数为2的整次幂，比如8或16。IFFT的结果不会这么难看。

hcharlie

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你的方法1：以采样频率fs=10Hz，即采样间隔dt = 1/fs = 0.1s，在采样时间1s内，对y(t)进行采样：采11个点采出来不是整周期的，而是应该用采样频率11Hz，采11个点才是整周期，虽然画图看起来不是整周期，而像兰的一样。

hustxyong

方法二得到的结果在时序后添个零就是方法一用11Hz离散的结果。也就是说，用频域构造得到的时序不包括第二个周期的第一个点。个人感觉，只用11个采样点构造1Hz的信号似乎没有很好的方法可以提高精度

Rainyboy

回复 6 # hustxyong 的帖子

对第二种方法，在时序后添加一个0不就成了(1/1.1)Hz的结果了么？然而我明明是用频域的1Hz的谱线构造出来的啊？

Rainyboy

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采样频率11Hz的话，一个周期内不就有12个点了么？

hustxyong

如前所述，方法一和方法二之所以有区别，在于用频域构造得到的时序（方法二）不包括第二个周期的第一个点。举例如下：
y1 = 1*sin(2*pi*linspace(0,1,10+2))'; % fs=11
Fy11 = [0 -11/2*i 0 0 0 0 0 0 0 0 11/2*i].'; %  %11点fft，系数 11/2即fft点数N/2，为Matlab中做fft算法的特点，论坛中有讨论
yifft11 = ifft(Fy11);
y1(1:11) - yifft11
ans =

  1.0e-015 *

                  0
                  0
                  0
   0.11102230246252
   0.11102230246252
   0.38857805861880
   0.27755575615629
   0.11102230246252
                  0
   0.11102230246252
  -0.66613381477509

y0 = 1*sin(2*pi*linspace(0,1,10+1))'; % fs=10
Fy10 = [0 -10/2*i 0 0 0 0 0 0 0 10/2*i].'; %  %10点fft
yifft10 = ifft(Fy10);
y0(1:10) - yifft10
ans =

  1.0e-015 *

                  0
                  0
   0.11102230246252
   0.22204460492503
   0.11102230246252
   0.12246467991474
   0.11102230246252
  -0.11102230246252
  -0.22204460492503
  -0.22204460492503

hcharlie

Rainyboy 发表于 2011-3-22 10:53

                               
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回复 5 # hcharlie 的帖子

采样频率11Hz的话，一个周期内不就有12个点了么？

你错就错在此处！
你如果用你采样的数，连续的反复延长，你就知道采样频率11Hz一个周期只能是11个点。

Rainyboy

回复 9 # hustxyong 的帖子


多谢！
我明白你的意思了，实际上用反傅里叶变换，以10Hz采样率和1s的采样时间重构频率为1Hz数据时，应该采用10个点重构，而不是11个点，是吧？



==================================================

OK，上一个问题搞定了……根据上一个问题里面的一些启示，我又有了一个新的问题（SORRY……问题多……）：

假如我们在对一个信号进行时域采样时，应该采用上述红线的采样方式（即保证信号的周期性），还是蓝线的（因为，正如上述构造过程展示了，这种“少一个点”的方式有很干净的频谱）？

以下面的时序为例(包含常值、1Hz的正弦、5Hz及10Hz的余弦)：
x(t) = 1 + sin(2*PI*1*t) + cos(2*PI*5*t) + cos(2*PI*10*t)
采样频率为30Hz，采样时长为10s

按照第一种方法，采样点数为30*10 + 1 ，即保证采样开始时的值等于结束时的值，其FFT分析结果为：



按照第二种方法，采样点数为30*10，即少采最后一个点，其FFT结果为：



我的疑问在于，红色的采样方式，似乎是我印象中应该常用的方式（因为在时域延拓之后是周期的，没有间断），频域不是很干净，而且在各自频率分量处的取值和相位有问题；而蓝色的采样方式，延拓之后在时域上有一个间断，但是其频域却（出乎我意料的）精确。那我们在对一个一直周期（或许不知其每个频率成分对应的幅值）的信号进行采样时，应该怎样做呢？

Rainyboy

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非常感谢！
我大概明白你的意思了，我是想说，以fs为采样频率，去对一个信号采样T秒时，为了保证信号的在开始和结束的连续性，总采样点数应该是 N = fs*T +1 个吧？

如我在11楼回复hustxyong的那样，这样说来，我们在对一个信号采样时，应该取 N =  fs*T个点呢，还是N =  fs*T+1个？我用一个多频的信号做了个例子，也在11楼的回复中，烦劳拨冗解惑……不甚感激！

hcharlie

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应该取 N =  fs*T个点！
忘掉你概念中念念不忘的+1吧！
似不完整实际完整。
你不要把你的采样看作为没有宽度的一个点，而看成宽度为ΔT的一段，N个采样看成N个ΔT的小时间段，加起来就是完整周期，也许能想通了。以8个采样点为例，请看下图，一个正弦波采集了8个点，实际离散化以后变成了8级阶梯波，8个点组成完整的一个周期，第九个点已经属于下一个周期了。

Rainyboy

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呵呵，谢谢图文并茂的清晰地讲解！之所以念念不忘是因为我也许错误地理解了李德葆在《实验模态分析及其应用》书第104页所说的

由此可见，为避免泄露，对于有限带宽的周期函数x(t)来说，窗函数w(t)的窗长必须等于x(t)的一个周期或整数倍周期。保证整周期截断，实际上是保证将窗中函数的拓本依次连接后保证在连接处连续，从而能恢复函数的原样。这一点对于随机函数来说，是不可能做到的，因为严格说来，随机函数的周期无限长，对于随机信号，为了抑制泄露，应采取特别设计的窗函数，用以消除函数截断的始末端的不连续性，如……

如此看来，这里的连续性并不是由采样的数据来保证的，而是由被采样信号来保证的，如上述对1hz信号的1秒采样，采了10个点，则具有你所说的“看似不完整实则完整”的性质。不然，若对1.5hz的信号进行1秒的采样，采10个点，就是“看似不完整实际也不完整”了(当然，这里的不完整与采样点数已无关系……)？

hcharlie

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你引用的“整周期截断”，“消除函数截断的始末端的不连续性”。。。
这是指首末能接得上，并非一定要首末相等，相等就多余了一个了。