利用振动计算碳纳米管的杨氏模量

znfsky

最近对碳纳米管比较感兴趣，但是对于振动真是一窍不通，下面几段话还求解释：

碳纳米管的简化连续介质模型有2种，分别为小形变时的简单梁理论和大形变或复杂形变时的壳理论。
小形变下的梁运动方程为：
  //这个公式的出处是哪里？或者怎么推导出来的？
其中u为位移，ρ为密度，A是横截面积，E是杨氏模量，I是转动惯量，q(x)是分布载荷。在推导上述方程时假设位移很小，在无载荷时梁垂直于中心轴的横截面，在弯曲时，保持与中心轴垂直。尽管在应用于碳纳米管时与上述线性理论预测出现了一些偏差, 但上述假设在通常情况下对细长梁仍是有效的。
第n阶的振动模态的固有频率为：
  //这个结果又是怎么得到的？
其中 i是由边界条件确定的特征方程的根。
将梁的一端固定（位移和转动均为0），另一端自由（作用力为0）。则特征方程为：

由此可算得悬臂梁振动的前三阶模态的频率为β1≈1.875，β2≈4.694，β3≈7.855。测量碳纳米管的振动就可以估算杨氏模量。//这个地方为什么说是β1 2 3，不是w1 2 3呢？不是说w是固有频率么？