连续指数谱的编程思想及注意事项

liliangbiao

回复了看了很久的一个帖子，但是我认为有必要单独列出来一个帖子，供大家参考和评论！以期获得各位同仁的更为深邃的见解，不要说谢谢，太好了，共享你的程序，骂人或者挖苦的话语，等等无关的词汇，把你的看法告诉我，我们共同学习！


对于确定性动力系统，请参看Mathworks网站上的关于计算Lorenz系统的指数计算程序，尽管那只是一个在确定的参数条件下，计算Lyapunov指数谱的程序，(LET工具箱计算指数的部分也是用的那个程序哦)！要得到随一个参数变化的指数谱，只需要对这个参数做循环，记录下原来的程序中每个值对应的最后时间的三个数值即可，这是因为我们按照这个程序的思路，最后一刻的时间的三个指数才是准确的哦(这是这个程序的核心思想，时间序列的不断迭代，为了达到平衡状态，也就是某个attractor的指数谱平稳或者收敛状态，必须延长积分时间和缩小积分步长，达到这点你首先要明白积分时间和步长选择多少合适，比如看折这个attrator下的指数谱在设定的时间和步长的收敛情况，也就是指数谱的平滑情况)，并且如果要想得到更为精确的最后的指数，需要对积分步长 tstep=0.5让它足够的小，例如取tstep=0.01，最后的时间tend=200足够的长，例如取tend=10000或者tend=10^8，但是这样会time-consuming！再有，一般的积分的时候，例如本程序利用的是ode45，那么就会产生transient response，也就是说从积分轨线从初始值出发到attracting on the orbits 需要一段时间，that is, transient response! (你要明白我们计算Lyapunov指数指的是某个attractor的指数，而不是某个轨线的指数，只有attracting on the orbits 才能用于计算哦)，所以我们必须去掉这一块transient response，而只计算去掉transient response之后的部分，这样计算出来的平均数(Lyapunov指数就是\sigma(log(dx_n/dx_0))/n n\rightarrow inf, 这个计算公式对于任何的动力系统来说都是永远不变的哦) 才会更准确，但是很可惜，这个程序没有做到这一点(这就是为什么你看到在tend比较小的时候, 三条指数谱出现震荡的缘故，但是tend比较大的时候，就会出现平衡的，收敛的轨线的缘故。并且对于某些系统而言，如果取非常小的tend，往往会导致错误的结果，比如有些指数谱可能大于零的，但是一旦取tend非常大或者除掉transient response 之后，发现这条大于零的指数谱却趋向于0<limit cycles>或者穿越0变为负的<periodic>了，这样就会导致你的错误判断！！那么tend取多少合适呢？因为Lyapunov指数是一个极限状态，如果你的系统中含有一个微分方程是线性的，比如Lorenz系统的第一项，那么对于这个系统来说，理论上必有一条指数谱为0与之对应，因为这条轨线不会指数倍的分离，但是实际计算机运行中，你的积分次数不可能为inf, 因此只要这条指数充分靠近与0即可，比如误差在0.0001之内甚至更小！如果你的编程能力不错，你可以在源程序上改进这一点，甚至我认为你必须改正这一点！)。
注意：这里保存数组时需要做至少四列数值, 分别保存参数值，对应的指数lamda_1, 2, 3, 顺便利用Kaplan-Yorke公式把Lyapunov维数也计算出来(DKY)保存在第五列，假设例子如下：
参数 指数1 指数2 指数3   维数(DKY)
1       0.010    0       -14.00   2.0010
1.1    0.011    0       -14.10   2.0001
......(具体的Lorenz系统指数见后，格式相同)
如何对这个程序修改看各位的编程能力，呵呵，说白了，其实是修改程序的能力！
网址是http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4628-calculation-lyapunov-exponents-for-ode
或者是google搜索：Lyapunov exponents matlab 第一项就是(不要用百度,学术搜索或者国外搜索太烂!!).
顺便说一下，很多优秀的程序都可以在mathworks这个网站的File Exchange 板块中找到！为何不试试呢？劝各位初学者不要一味的依赖于别人的程序，自己动手搜索，自己消化吸收别人的编程思想，这样入手更快一些！自己的永远是自己的！
另外注意，对于非自治系统来说必须化为自治系统来计算Lyapunov指数，这样的话，肯定有一个指数谱恒为零(因为肯定有一个线性项)！
欢迎各位评论我的个人的观点！
附表(Lorenz系统随某参数变化的指数值及维数值, 因长度限制，不全，即作为参考格式用)
      参数值             指数1               指数2             指数3            维数(DKY)
  4.00000000   -1.01322859   -1.01393773  -11.63901045    0.00000000
  4.10000000   -1.00424710   -1.00524168  -11.65668294    0.00000000
  4.20000000   -0.99549671   -0.99649252  -11.67417756    0.00000000
  4.30000000   -0.98680484   -0.98785884  -11.69149799    0.00000000
  4.40000000   -0.97827580   -0.97923246  -11.70864838    0.00000000
  4.50000000   -0.96967740   -0.97084184  -11.72563236    0.00000000
  4.60000000   -0.96143988   -0.96225312  -11.74245361    0.00000000
  4.70000000   -0.95304643   -0.95397963  -11.75911565    0.00000000
  4.80000000   -0.94476019   -0.94575488  -11.77562156    0.00000000
  4.90000000   -0.93659417   -0.93756258  -11.79197500    0.00000000
  5.00000000   -0.92849557   -0.92945236  -11.80817884    0.00000000
  5.10000000   -0.92031515   -0.92157041  -11.82423627    0.00000000
  5.20000000   -0.91241626   -0.91355041  -11.84015014    0.00000000
  5.30000000   -0.90437891   -0.90580946  -11.85592368    0.00000000
  5.40000000   -0.89657174   -0.89797610  -11.87155929    0.00000000
  5.50000000   -0.88878497   -0.89025742  -11.88705983    0.00000000
  5.60000000   -0.88109688   -0.88257246  -11.90242795    0.00000000
  5.70000000   -0.87341912   -0.87500698  -11.91766639    0.00000000
  5.80000000   -0.86602009   -0.86729007  -11.93277735    0.00000000
  5.90000000   -0.85848777   -0.85983127  -11.94776363    0.00000000
  6.00000000   -0.85093839   -0.85251192  -11.96262741    0.00000000
  6.10000000   -0.84362130   -0.84508030  -11.97737121    0.00000000
  6.20000000   -0.83628732   -0.83778324  -11.99199743    0.00000000
  6.30000000   -0.82886519   -0.83068967  -12.00650826    0.00000000
  6.40000000   -0.82176809   -0.82338408  -12.02090631    0.00000000
  6.50000000   -0.81457800   -0.81628216  -12.03519326    0.00000000
  6.60000000   -0.80729451   -0.80938195  -12.04937217    0.00000000
  6.70000000   -0.80036535   -0.80223326  -12.06344525    0.00000000
  6.80000000   -0.79334446   -0.79527953  -12.07741477    0.00000000
  6.90000000   -0.78624162   -0.78850814  -12.09128431    0.00000000
  7.00000000   -0.77935405   -0.78161860  -12.10505667    0.00000000
  7.10000000   -0.77235858   -0.77493010  -12.11873584    0.00000000
  7.20000000   -0.76551892   -0.76817355  -12.13232733    0.00000000
  7.30000000   -0.75874130   -0.76143451  -12.14583922    0.00000000
  7.40000000   -0.75181112   -0.75491238  -12.15928675    0.00000000
  7.50000000   -0.74487416   -0.74842360  -12.17270773    0.00000000
  7.60000000   -0.73759603   -0.74211355  -12.18629091    0.00000000
  7.70000000   -0.73128106   -0.73552511  -12.19918963    0.00000000
  7.80000000   -0.72538277   -0.72883374  -12.21177480    0.00000000
  7.90000000   -0.71933231   -0.72220309  -12.22445132    0.00000000
  8.00000000   -0.71305319   -0.71583152  -12.23709754    0.00000000
  8.10000000   -0.70686735   -0.70942497  -12.24968528    0.00000000
  8.20000000   -0.70077346   -0.70299512  -12.26220449    0.00000000
  8.30000000   -0.69463402   -0.69668407  -12.27465032    0.00000000
  8.40000000   -0.68853924   -0.69040371  -12.28702097    0.00000000
  8.50000000   -0.68237254   -0.68427152  -12.29931531    0.00000000
  8.60000000   -0.67632745   -0.67809421  -12.31153310    0.00000000
  8.70000000   -0.67040234   -0.67187323  -12.32367451    0.00000000
  8.80000000   -0.66430516   -0.66590024  -12.33574024    0.00000000
  8.90000000   -0.65845083   -0.65975975  -12.34773076    0.00000000
  9.00000000   -0.65242173   -0.65386873  -12.35964617    0.00000000
  9.10000000   -0.64651753   -0.64792678  -12.37148776    0.00000000
  9.20000000   -0.64069140   -0.64197996  -12.38325638    0.00000000
  9.30000000   -0.63498547   -0.63598534  -12.39495282    0.00000000
  9.40000000   -0.62909037   -0.63025150  -12.40657675    0.00000000
  9.50000000   -0.62345083   -0.62433286  -12.41813052    0.00000000
  9.60000000   -0.61762080   -0.61867467  -12.42961439    0.00000000
  9.70000000   -0.61191882   -0.61295757  -12.44102872    0.00000000
  9.80000000   -0.60627250   -0.60725313  -12.45237513    0.00000000
  9.90000000   -0.60070318   -0.60153918  -12.46365391    0.00000000
10.00000000   -0.59521979   -0.59580600  -12.47486591    0.00000000
10.10000000   -0.58952176   -0.59035337  -12.48601221    0.00000000
10.20000000   -0.58414029   -0.58464929  -12.49709321    0.00000000
10.30000000   -0.57860024   -0.57916814  -12.50811001    0.00000000
10.40000000   -0.57308429   -0.57372646  -12.51906325    0.00000000
10.50000000   -0.56765480   -0.56826115  -12.52995369    0.00000000
10.60000000   -0.56230476   -0.56277849  -12.54078187    0.00000000
10.70000000   -0.55701706   -0.55729483  -12.55154889    0.00000000
10.80000000   -0.55155367   -0.55204750  -12.56225516    0.00000000
10.90000000   -0.54634007   -0.54661032  -12.57290159    0.00000000
11.00000000   -0.54095376   -0.54140508  -12.58348868    0.00000000
11.10000000   -0.53579359   -0.53603224  -12.59401755    0.00000000
11.20000000   -0.53062614   -0.53072457  -12.60448806    0.00000000
11.30000000   -0.52543498   -0.52549782  -12.61490177    0.00000000
11.40000000   -0.52026685   -0.52030459  -12.62525896    0.00000000
11.50000000   -0.51506463   -0.51520139  -12.63556015    0.00000000
11.60000000   -0.50988303   -0.51013285  -12.64580607    0.00000000
11.70000000   -0.50492476   -0.50489566  -12.65599727    0.00000000
11.80000000   -0.49975629   -0.49992273  -12.66613451    0.00000000
11.90000000   -0.49485654   -0.49473454  -12.67621824    0.00000000
12.00000000   -0.48975246   -0.48980357  -12.68624921    0.00000000
12.10000000   -0.48473516   -0.48483811  -12.69622694    0.00000000
12.20000000   -0.47979283   -0.47984937  -12.70615497    0.00000000
12.30000000   -0.47486615   -0.47489617  -12.71603060    0.00000000
12.40000000   -0.46995462   -0.46997845  -12.72585504    0.00000000
12.50000000   -0.46511349   -0.46504036  -12.73563005    0.00000000
12.60000000   -0.46036168   -0.46006251  -12.74535439    0.00000000
12.70000000   -0.45541882   -0.45532467  -12.75503207    0.00000000
12.80000000   -0.45068021   -0.45043110  -12.76465996    0.00000000
12.90000000   -0.44582623   -0.44570085  -12.77423998    0.00000000
13.00000000   -0.44118859   -0.44080174  -12.78377239    0.00000000
13.10000000   -0.43637850   -0.43612207  -12.79325809    0.00000000
13.20000000   -0.43161164   -0.43144564  -12.80269722    0.00000000
13.30000000   -0.42691763   -0.42674238  -12.81209027    0.00000000
13.40000000   -0.42225160   -0.42205666  -12.82143795    0.00000000
13.50000000   -0.41760702   -0.41739456  -12.83074080    0.00000000
13.60000000   -0.41301772   -0.41272182  -12.83999827    0.00000000
13.70000000   -0.40850619   -0.40801547  -12.84921171    0.00000000
13.80000000   -0.40386713   -0.40348032  -12.85838196    0.00000000
13.90000000   -0.39926002   -0.39895650  -12.86750872    0.00000000
14.00000000   -0.39482534   -0.39430311  -12.87659282    0.00000000
14.10000000   -0.39020996   -0.38987281  -12.88563444    0.00000000
14.20000000   -0.38574615   -0.38533295  -12.89463408    0.00000000
14.30000000   -0.38134817   -0.38076882  -12.90359228    0.00000000
14.40000000   -0.37681248   -0.37638358  -12.91250950    0.00000000
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26.50000000    0.84856009    0.00273680  -14.51461281    2.05865102
26.60000000    0.86723832    0.00247549  -14.53298243    2.05984414
26.70000000    0.85836400    0.00252359  -14.52416631    2.05927277
26.80000000    0.87099161    0.00244943  -14.53669719    2.06008525

liliangbiao

回复 1 # liliangbiao 的帖子

太可惜了，没有人跟帖，没有听到大家的深刻的见解，以后再也不这么卖力了！

kangarooli

回复 2 # liliangbiao 的帖子

“对于非自治系统来说必须化为自治系统来计算Lyapunov指数，这样的话，肯定有一个指数谱恒为零(因为肯定有一个线性项”，听你这么说有道理，你说的是含t那项的指数吧，但我有时候画出来怎么不是呢，会出现++-的情况，请问这是怎么回事啊，难道出错了

kangarooli

还有个问题，这lyapunov指数是指两轨迹相离或相近变化的程度关系吧，那每一维的指数是指这一维和谁的相离或相近呢，问题可能不对，请指教，谢谢

liliangbiao

回复 3 # kangarooli 的帖子

驱动力项的周期激振力中的时间t!
但是++-在三维自治系统中不可能出现吧？因为这涉及到超混沌了，但是超混沌只有是dimension>=4的时候才可能出现。我估计你有些地方可能算错了！但是以前有一种提法叫胖吸引子，会出现++-的情况，但是好像胖吸引子这种称呼已经绝迹了，并且以前介绍胖吸引子的时候，通常都是在离散动力系统中，对于连续动力系统我没有见过介绍或者说明！

liliangbiao

回复 4 # kangarooli 的帖子

这一点在我引用的程序中给出了详细的说明，如果你能明白程序中为什么会出现extended ODE的时候，那么你就明白了谁和谁距离相近！比如在这个程序中，lorenz系统只是一个三维自治系统，但是解方程的需要解总共有12个方程的！这就是extended ODE, 你自己消化这个程序吧！

kangarooli

回复 6 # liliangbiao 的帖子

谢谢你的回答，看来还好多需要学习，至于程序我是按网上的改的，源程序是没问题的，我再看看

leoo

如何对这个程序修改看各位的编程能力，呵呵，说白了，其实是修改程序的能力！

zz619

如果你的系统中含有一个微分方程是线性的，比如Lorenz系统的第一项，那么对于这个系统来说，理论上必有一条指数谱为0与之对应，因为这条轨线不会指数倍的分离

对于连续时间的三维自治混沌系统，如果具有连续的向量场，则系统的李雅普诺夫指数满足L1>0, L2=0, L3<0且L1+L2+L3<0。有没有为零的指数跟方程线性非线性应该没关系吧。

liliangbiao

回复 9 # zz619 的帖子

我不知道你这句话从何而来，是不是陈&&吕的那本书上得到的？
但是我认为不对，有一些三维自治混沌系统，具有连续的向量场，但是如果LE1>0，并且LE2,3<0， 但是为了保证弱耗散性, 必须有LE1+LE2+LE3~0(微小于零) 称为近哈密尔顿混沌系统(almost Hamiltonian chaotic flow), 不知道你如何理解！向量场连续，并不意味着一定会有一条指数恒为零吧？我在原帖中说错了，我说的原意不是线性项，而是常数项！我在帖子中改正不了了！

zz619

回复 10 # liliangbiao 的帖子

陈关荣吕金虎的书上确实也提到过这点。对于有连续向量场的三维自治混沌系统的L1>0, L2=0, L3<0，我的理解是由于混沌系统的性质和李雅普诺夫指数的定义本身决定的。对于三维系统，如果L1>0, L2,3<0，我不知道还能不能保证系统是混沌的。利用雅克比矩阵法求指数或指数谱，很多时候都得不到一个为零或几乎为零的指数，我感觉是由于数值算法本身的限制和计算中的误差累积。如果系统中有一个方程右端为常数项的话，系统在这个相应方向上的李雅普诺夫指数应该为零。

liliangbiao

回复 11 # zz619 的帖子

那么你是否见过严格的数学证明关于你的论点
对于有连续向量场的三维自治混沌系统的L1>0, L2=0, L3<0，你的如下理解有些太笼统！！！
我的理解是由于混沌系统的性质和李雅普诺夫指数的定义本身决定的。混沌的性质我不知道，但是李雅普诺夫指数的定义没有说明这一点啊！

kangarooli

像这种带有外激励t的非自治系统，也就是你说的含有常数项，那么在求LE指数的时候肯定有一个一直是0对吧，那么在取最大LE指数的时候怎么处理呢，比如说当出现0 - -的时候，这种情况不能取0吧，还请指教

liliangbiao

是的，不能取0，这是很明显的，取除了零之外的最大的指数！

kangarooli

回复 14 # liliangbiao 的帖子

只有这种情况比较特殊是吧，自己加一个判断就可以了，其他的情况直接降序排列，取最大就可以了吧！