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[稳定性与分岔] 含非连续分段外力的转子运动微分方程能否写出其状态方程

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发表于 2012-3-9 21:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最简单的转子系统运动微分方程为
Mx''+Cx'+Kx=f
M、C、K分别为质量、阻尼和刚度。f为外力。
通过变换,可以将上述二阶方程改为一阶形式。如u1=x',u2=x。
则状态方程为
x''=u1'=(-C*u1-K*u2+f)/M
x'=u2'=u1
如果外力f的表达式是连续的,那么这么写没有任何问题。
但如果f属于分段形式,比如  f=a*x  (x>0),f=b*x   (x<=0),那么状态方程就不能这么写了。
写状态方程最主要的目的是为了求解Jacobian矩阵的特征值。
请大家帮助一下,像这种情况应该如何写出系统的状态方程从而能够进一步进行分析。
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发表于 2012-3-10 18:26 | 显示全部楼层
可以看下碰撞系统对这个问题的处理,自己没实际做过!
 楼主| 发表于 2012-3-11 07:28 | 显示全部楼层
回复 2 # meiyongyuandeze 的帖子

非常感谢你的回答。我做的就是碰撞系统的问题,呵呵。一旦解决了,和大家分享
发表于 2012-3-11 10:21 | 显示全部楼层
回复 1 # chunshui2003 的帖子

状态方程好像也可以这样子写吧,在写状态方程的文件里面,把外力用分段函数来表示。
发表于 2012-3-11 15:51 | 显示全部楼层
微分包含。
发表于 2012-3-11 21:03 | 显示全部楼层
回复 3 # chunshui2003 的帖子

你可以看下谢建华教授的相关研究!
 楼主| 发表于 2012-3-12 07:46 | 显示全部楼层
回复 4 # yyxt007 的帖子

我觉得状态方程的x,y等应该是确定的,分段函数加入了判断条件。那就意味着一个系统运动微分方程包含多个状态方程,感觉不太对。这也是自己的理解。
谢谢讨论!
 楼主| 发表于 2012-3-12 07:47 | 显示全部楼层
回复 5 # kezairenjian 的帖子

没太明白你的意思
 楼主| 发表于 2012-3-12 07:47 | 显示全部楼层
回复 6 # meiyongyuandeze 的帖子

谢谢你的提示,我回头找一下。现在就缺少相关文献的参考。
发表于 2012-3-12 09:09 | 显示全部楼层
嗯,理论上的非光滑分析,需要用到微分包含。如果仅仅求稳定性,对于分段光滑系统,可以先求出各个分界面的切换映射,再结合各个子区间的相应基本解矩阵,就可以得到全局的基本解矩阵,然后通过floquet理论对系统的稳定性和分岔进行研究。这个过程不需要求解析或者半解析解。
另外一种,就是求出各个子区间的解析解,然后用映射的方法,求得系统不动点的庞加莱映射,也可以求解分析系统的稳定性和分岔。
 楼主| 发表于 2012-3-12 10:01 | 显示全部楼层
回复 10 # kezairenjian 的帖子

感谢你的回答。之前对你提到的这些概念和理论基本上不了解。看过meiyongyuandeze给过的建议后,找了一篇谢建华老师的文章(单自由度含间隙分段线性系统周期运动的倍化分岔),在上面看到了这些内容。
我研究的是碰摩系统,其中碰摩的表达式存在判断条件(转子位移大于间隙值时才存在,否则为0)。对于这方面的稳定性分析,以全周碰摩居多(碰摩力一直存在),也就是不存在分段这个说法。
我想问一下,像碰摩这种不连续系统,是否也可以采用你所提及的方法进行稳定性分析。如果可以的话,我就把这方面内容好好学习一下。
发表于 2012-3-12 11:11 | 显示全部楼层
回复 11 # chunshui2003 的帖子

摩擦非线性,属于fillpov系统,建议你看看这方面的。国内的话,张思进做过碰摩转子的非光滑分析,还有一本专著。既然是分段,就一定非光滑,那么我说的那个方法应该是可以用的。
 楼主| 发表于 2012-3-13 16:34 | 显示全部楼层
回复 12 # kezairenjian 的帖子

非常感谢你的帮助。我找一下这个老师的文献看看。如果有不明白的,希望到时可以向你讨教一下。
发表于 2012-3-14 11:01 | 显示全部楼层
这个帖子好。碰磨,我只做过数值解,还没做到定性分析。前人栽树,后人乘凉,赞一个
发表于 2013-7-18 20:02 | 显示全部楼层

在求解得到局部的基本解矩阵时,这个矩阵是和解到达切换面时间有关的,而全局的基本解矩阵是由这几个局部基本解矩阵与切换阵相乘得到,floquet 理论中floquet乘子该如何求解呢?
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