混沌的本质-王玉平

多情清秋

王玉平

内蒙古电大，呼和浩特　010051

摘要：以罗仑兹（Lorenz）系统及Logistic映射为例，阐述了混沌的本质以及混沌系统中的秩序。

关键词：混沌；状态空间；奇怪吸引子；拉伸与折叠；秩序。

　　在物理学的发展过程中，物理学家梦寐以求的是能够用最简洁的数学语言来描述最广泛的物理现象，它既能够描述物理世界的现在，也能够准确地预测事物发展的未来。二十世纪以前，科学家们以坚定的信心来创建完美的物理学大厦，近一个世纪以来，随着研究领域的日趋广泛，新的物理现象不断涌现，新的物理规律不断建立，物理学家才意识到“完美的大厦”只是一个遥远的梦想，首先海森伯测不准关系表明，准确地测量粒子的位置和速度受到某一基本的限制，而混沌现象的发现，表明预测系统的未来受到了根本的限制。当然这并不意味着物理学的发展走到了尽头，只是使我们认识到了愿望与现实之间的差距，并找到了一条认识复杂世界的正确道路，因为现实世界多数是非线性的，以前解决此类问题时，多是将其简化为线性系统来做近似处理，否则只能束之高搁了，今天随着混沌理论的建立和计算机技术的应用，使的科学家有了处理此类问题的能力。

一、混沌系统

　　自然界只有一个，但其表现行为纷繁复杂，根据其复杂程度的不同可以分为确定论系统和随机系统。确定论系统指的是：根据系统的运动方程及初始条件就可以确定系统行为的演化。确定论系统的运动方程往往有闭型解，其解是用初始状态来表示任意时刻状态的公式，因而只要知道初始状态和最终时间就可以预测未来，与状态的中间过程无关。即使初始条件有微小的偏差，其结果的偏差也不大，即系统的行为是完全确定的，牛顿力学是确定论的典型代表。例如：根据行星的运动方程以及日、地、月的初始状态，就可以预测几百年甚至几千年后的日食和月食。对于随机系统来说，影响系统行为的因素非常多，诸多因素构成的因果关系非常复杂，使得系统的行为方式具有高度的随机性，以统计力学和 量子力学为代表的概率论是处理此类复杂系统的主要工具。

　　不论是确定论系统，还是随机系统，都是构成物理世界的两个极端情况，而且也不是绝对的，出人意料的是，只有很少几个参量的确定论系统竟会产生随机性为，这种随机性行为并非来自外界的干扰，而是系统的一种根本性质。事实上，许多具有确定的微分方程（或离散变量的映射）的非线性系统，在一定条件下表现出了随机行为，更令人惊奇的是，这种随机行为中蕴涵着一定的秩序。我们把非线性的确定论系统表现出的随机行为称为混沌。它是看似随机却并非完全随机的系统。混沌理论的发现突破了确定论与随机论之间不可逾越的障碍。混沌系统产生随机行为的根源在于系统的非线性，表现为系统对初始状态的敏感依赖性，即无论初始状态的误差多么微小，都会随系统的演化而迅速放大，就象一盘理想化的台球，假设球在台面上运动和相互碰撞均不损失能量，尽一切可能保持每次初始击球状态的一致性，随着球的碰撞次数的增加，球的运动状态会变的面目全非；同样的例子是福利彩券的摇奖过程。这主要是由于系统在演化过程中误差成指数增长，无论多么小的误差都会迅速增长到完全影响系统宏观行为的程度，因而混沌系统的长期行为是不可预测的。

二、系统的刻画

　　混沌理论研究的是有几个变量的数学模型所确定的动力系统，动力系统由两部分组成，即状态与动态特性，状态是指描述系统基本情况的物理参量，动态特性则是描述系统状态如何随时间变化的规则。研究动力系统的目的就是预测过程的最终发展结果，即测量出某一时刻系统的初始状态，然后预测以后的时间序列中系统的长期特性（或渐进特性）。若动力系统随时间是连续变化的，则称这种连续变化的时间为时间流。单摆的运动状态就是连续的，因而可以用连续的时间流描述，描述此类系统的数学工具是微分方程。若动力系统的变化是发生在不连续的时间中，则称这种离散的时间为映射。例如在特定区域内每年新生的昆虫个数就是用离散的时间映射描述的，处理映射的数学工具是差分方程。

　　对混沌系统最直观的描述是状态空间的引入，它是一种抽象的结构，其坐标为状态的各个分量（或动力系统的自由度）。在力学系统中状态空间可以由位置和速度来描述，而在生态系统中，状态空间是由虫口数描述的。以稳定的单摆系统为例，在近平衡条件下，非阻尼摆的状态空间由图一所示，系统的每一状态与状态空间的一点对应，当摆来回摆动时，状态空间中的点形成一椭圆轨道。



图一　单摆轨道
　　对于混沌系统来说，由于其长期行为的不可预测性，因此必须用渐进的方法来探索系统的状态，并得到一系列的状态值，我们把动力系统中的一点或一个数连续迭代所产生的序列称为轨道。上述单摆系统的轨道是一个椭圆，它表示系统的运动是周期性的。阻尼摆的运动不再是周期性的，在状态空间的轨道盘旋缩小，最后静止在原点的一条螺旋线，
可以看出，状态空间能以直观的几何形式表现系统的行为，阻尼摆最终会停下来，这意味着轨道最终会趋于一个不动点，它好象吸引了邻近轨道，因此称为吸引子，所谓吸引子是指系统反复出现或越来越逼近的状态集。它是刻画系统在状态空间中长期行为的几何形式，是系统行为的最后归宿。阻尼摆的吸引子是一个不动点，实际上任意随时间归于静止的系统都可以由状态空间中的一个不动点描述。近平衡条件下的非阻尼摆，其吸引子为一极限环（见图一），它表示系统作周期运动。另一类更复杂的吸引子是二维环面吸引子，其结构类似面包圈的表面，它反映了系统的拟周期运动，对于拟周期运动，虽然情况较为复杂一些，但系统的行为仍然是可以预测的，因为在二维环面吸引子上，初始状态靠的很近的轨道始终靠的比较近，随系统的发展误差变化不大，因此长期预测是可靠的。我们把可预测系统的吸引子（不动点、极限环、二维环面）称为平庸吸引子。平庸吸引子的最大特点是，初始状态相近的轨道，始终比较接近，误差始终局限在一定范围内，因此系统的长期行为是可以预测的。

三、蝴蝶效应

在发现混沌现象之前，科学家们一直认为微分方程的解只有四种类型：不动点；极限环；二维环面；发散轨道。1963年麻省理工学院的气象学家罗伦兹（E.N.Lorenz）在研究天气的不可预测性时，从流体的运动方程出发，通过简化方程获得了具有三个自由度的系统，并再计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化，意外地发现，初始条件的极微差别可以引起模拟结果的巨大变化，这表明天气过程以及描述它们的非线性方程是如此的不稳定，以至巴西热带雨林的一只蝴蝶偶然拍动一下翅膀，几星期后可以在美国德克萨斯州引起一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。

罗沦兹方程的具体形式为

　 　 （1）

　　 （2）

　　　　（3）

其中x、y、z、为无量纲量，分别表征对流强度，对流中升流与降流间的温差和竖直方向温度分布的非线性度。任意给定初值，系统最终都会回到状态空间的特定区域内，其吸引子具有精巧而奇特的结构，如图三所示，表明系统进入了混沌状态。



图三 Lorenz混沌吸引子

　　蝴蝶效应表明，初始条件的极细微变化，随着时间的推移会显著地影响系统的宏观行为，反映在状态空间中，初始状态非常接近的二条轨道，只在很短的时间内靠的比较近，然后会迅速散开，因此根据初始状态预测系统的长期行为，会由于误差的迅速扩大，使长期行为的预测受到了根本的限制。

　　混沌吸引子较平庸吸引子要复杂的多，其最大特点是，初始状态相近的二条轨道会迅速散开，然后再次靠近，再迅速散开，且这种聚散行为具有随机性，所以混沌吸引子也称为奇怪吸引子。

四、混沌的本质

　　为了能够更近一步认识混沌的本质，有必要重新认识混沌吸引子的构造，首先，由于受到测量精度和海森伯测不准关系的限制，初始状态的测量不可能绝对精确，反映在状态空间就不可能是一个点，而是具有误差的一个小区域，随着动力系统的演化，误差会迅速放大，在状态空间中表现为两条很近的轨道迅速远离，通常称这一过程为对状态空间的拉伸操作。由于系统的状态是局限在吸引子区域内的，因而远离的轨道会弯曲过来再次靠近（但不相交），这一过程称为对状态空间的折叠操作，随着系统的演化，拉伸和折叠操作反复进行，两条初始状态很近的轨道会布满整个吸引子区，换句话说，初始测量误差很快布满整个吸引子区，这也是混沌系统表现出随机行为的根本原因。另外需要指出的是，由于对状态空间反复进行拉伸和折叠操作，因而混沌吸引子的表面不是光滑的，存在许多皱折，且皱折中嵌套着皱折，无限循环下去。如果我们把皱折充分放大，会发现其结构与所在区域的整体结构具有相似性，这种无限嵌套的自相似几何结构称为分形（fractals）。

　　混沌现象的产生并非由系统外界随机因素影响而致，而是由于系统本身非线性相互作用的结果，因而不能通过降低“噪声”来消除系统的随机行为,由于混沌系统的复杂性，因而可以用新的物理量来定性地描述，这就是“状态熵”的引入，用来反映系统状态的变化趋势，当系统轨道发散时，亦即对状态空间拉伸操作时，状态熵增加，非线性自相互作用使系统有“状态增益”的趋势；当系统轨道收敛时，也就是对状态空间进行折叠操作时，系统状态熵减少，非线性自相互作用使系统有“状态损益”的趋势。如果事实果真如此的话，对于象宇宙这样的非线性系统，无论其是有限的还是无限的，由于非线性自相互作用，宇宙永远不会趋于“热寂”，就局部来看，引力黑洞就是状态熵减少的一个例子，而星系爆发就是状态熵增加的例子，而且星系构造的分形特征也是显而易见的，那么把整个宇宙看成一个封闭的热力学系统，并推断出其最终趋于“热寂”的方法就是片面的。

五、通向混沌的道路

谈到混沌系统，由于其行为的复杂性，往往认为其动态特性（运动方程）也一定非常复杂，事实并非如此，一个参量很少、动态特性非常简单的系统有时也能够产生混沌现象，以一维虫口模型为例，假设某一区域内的现有虫口数为yn，昆虫的繁殖率为μ，且第n代昆虫不能存活于第n+1代，既无世代交叠，则第n+1代虫口数为  ，μ＞1时，虫口会无限制地增长；μ＜1时，虫口最终会趋于消亡，因此需要对模型进行修正。由于环境的制约和食物有限，因争夺生存空间发生相互咬斗事件的最大次数为  ，即制约虫口数的因素与 成正比，设咬斗事件的战死率为β则对虫口的修正项为- ，则有：

　　（4）

，上式可写为 　

　　（5）

取最大虫口数为1，且虫口数不能为负，则 ；当  =0.5时，方程有极大值 ，而  又必须小于1，因而μ＜4，则参量μ的取值范围为1到4，这就得到一个抽象的标准虫口方程（5），这一迭代关系通常称为逻辑斯蒂映射（logistic map）。一个看似简单的系统，随着参量的不同会表现出截然不同的行为，当μ的取值范围在1~3时，方程（5）有定态解.

　　　(6)

　　即方程通过多次迭代后趋于一个稳定的不动点，此时系统是稳定的。μ在3~3.448范围内取值时，经过多次迭代，方程（5）出现周期二解

　　　（7）

　　（8）

随着μ的增大，μ=3.449；3.544;3.564…依次出现周期4、周期8、周期16…的振荡解，这种行为称为倍周期分岔，直到μ＞3.5699时，系统进入了混沌状态，如图四所示，此时系统的状态不再具有规律性，而是发生随机的波动，使图四右侧的大部分区域被涂黑了，仔细观察发现，混沌区域并非一片涂斑，而是有粗粗细细的白色“竖线”，称为周期窗口，随着参量μ的增大（如  ）时，混沌突然消失，系统出现周期三的稳定状态，



图四 Logistic映射分差图

　　接着倍周期分岔以更快的速度进行，再次进入混沌状态。如果将周期窗口放大，发现其结构与分岔图的整体结构具有相似性，而且是一种无限嵌套的自相似结构。

　　可以看出，通过改变系统参量，使系统进入混沌的第一种模式是倍周期分岔，即由不动点→周期二→周期四→…无限倍周期→进入混沌状态。当然通向混沌的道路不只于此，第二种通向的道路是：从平衡态到周期运动，再到拟周期运动，直到进入混沌状态。第三种通向混沌的方式是阵发（或间歇）道路，即系统在近似周期运动的过程中，通过改变参量，系统会出现阵发性混沌过程，随着参量的调整，阵发性混沌越来越频繁，近似的周期运动越来越少，最后进入混沌。

六、混沌系统中的秩序

虽然混沌系统具有复杂性和不可预测性，但期间也蕴涵着某种规律性，（一）混沌系统中普遍存在奇怪吸引子，无论系统的动态特性多么复杂以及初始状态如何不同，系统的状态最终会回到吸引子区；（二）系统状态的终态集具有精巧的几何结构，奇怪吸引子具有无限嵌套的自相似性；（三）在通往混沌的道路上，倍周期分岔点的收敛速率是一普适常数。

以logistic映射为例，费根鲍姆常数  …，这一常数同样适用于许多其它混沌系统，因而具有普适性。

参考书目：

[1]《大学物理》　常树人等　　混沌浅说1999.10　39—42

[2]《大学物理》（当代物理前沿专题部分） 蔡枢 吴铭磊 高等教育出版社 136—143

内蒙古广播电视大学 王玉平

sizhiyuan2006

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