傅里叶 小波 EMD 关系

yugang2010

傅里叶变换（1900？），小波变换（1984），EMD（1998）。三种处理方式代表了三个阶段。
         傅里叶变换，使用固定函数基对信号进行分解。在其分解过程中，将数据视作平稳数据分析。由于近代，非平稳信号的处理越发受到重视，在其基础上发展了短时傅里叶变换。STFT优点是简单易懂，缺点是分辨率不高，对于某些频变率高的信号，效果很差。STFT的核心是确定窗函数，所以，曾经很多论文自己设计窗函数，对STFT进行改进。
        小波变换，从小波十讲开始，就被确定了其信号处理地位，多年来一直不衰。其使用可选函数基，对信号进行分解而后处理。优点是灵活多变，可任意频段分解信号。缺点是，处理后信号不够稳定，不同函数基得到的结果可能相差甚远。这是由于所选的函数基，与原始信号的近似程度而确定的。所以很多论文基于小波函数基选择进行的，也有部分是设计小波基函数的。
        EMD，在1998年黄鄂教授发表出来，就受到了广泛的重视，一直到现在，有无数的论文拿它做文章。貌似文章的引用次数到了5000次左右，在scidirect上看的。EMD也是用于信号分解的，只不过是自适应分解，没有任何先决条件，这就使得其分解效果更能适应非平稳信号的要求。EMD也有很多缺点，如端点效应，等等。所以，针对其缺点也有大量的论文进行发挥。最经典的还是黄先生的学生在09年发表的EEMD处理方法。EMD处理方法，原理很简单，在数学上貌似一直得不到合理解释。所以，很多模仿EMD的算法也应运而生，如LMD，LCD等。
      总结，这三种处理方法，从固定函数基，到可选函数基，再到自适应函数基，分别树立了信号处理阶段的里程碑，其发展变化趋势也一目了然。现在无数的人，依然在执着于给进算法，发明更新的算法。个人不太赞同大家把经历放在算法改进上，应该把更多的精力放在算法应用上。这方面的论文也很多，但是，依旧看不到特别有突破性的成果。

     以上所说的，是线性处理方式。还有一种是双线性处理方式，也叫能量....。典型的是WVD。大约1932年，就被用在量子力学那块了。这个算法最大的缺点，就是干扰。基于这个的很多都是改进算法，如平滑算法，伪平滑算法，重排等等。有兴趣的可以搜搜看，效果其实也挺好的。


说了这些东西，就是想抛砖引玉，想引起大家对这些个算法的讨论。我们应该将精力放在哪，然后在你的领域又得出了多少有成果的应用范例。这些算法该怎么应用才更合适。

yghit08

个人认为楼主在发展脉络上把握的不是很好，不过“从固定函数基，到可选函数基再到自适应函数基”这句话还是不错的，不过自适应函数基在EMD上慎用。
傅里叶变换要求信号是平稳的，那么对应于非平稳信号很自然的想法就是：既然长时域内部平稳，那么假定短时域内近似平稳，那么就理所当然出现STFT。接下来对STFT的分析和使用发现，不可能同时在时域上和频域上最优分辨率（受海森堡不等式的约束），那么很自然的想法是：在高频上要求频域分辨率低，在低频上要求时域分辨率低，由此开始发展小波分析理论。
至于EMD的发展，一方面是有些情况下时频分析的能力有限，另一方面受瞬时频率概念和理论研究的促动，发现一种局部平稳化数据的分解方法，而惊人的在一些方面表现能力不错，那么很自然受到大家的重视（注意：目前看到的绝大多数论文是国人做的）。我对EMD的看法是：从算法自身来看，比较难做到和现在数学分析理论结合起来，不过其想法和傅里叶分析、小波分析是一致的：基函数。至于在EMD中能否称作自适应基函数还有待商榷。至于EMD的研究方向，不赞同楼主主要放在应用上，应放在改进上：和其他算法结合，自身的改进等等，目前发的文章也是这样。只停留在应用上将造就一大批垃圾硕士、本科论文。
另外，关于WVD不赞同楼主的看法。WVD是时频分析的一个分支，是基于能量角度的时频分析方法，从数据分析的角度看是基于信号二阶统计量来做的（二阶统计量有能量的观点），而其很大的问题不是干扰（楼主用词不准），是自身算法带来的问题：交叉项。因此发展其改进算法。
当然，目前还有其他一些发展比较好的方法：匹配跟踪、原子分解之类的，貌似属于那一类自适应基函数的方法，算法过程比较复杂，没怎么关注过。

yugang2010

yghit08 发表于 2013-6-2 11:39

                               
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个人认为楼主在发展脉络上把握的不是很好，不过“从固定函数基，到可选函数基再到自适应函数基”这句话还是 ...

其实，关于EMD算法改进，国人做的基本都是面上的，一般是与某些算法结合，然后经仿真信号应用后可行。国外这方面做的还真不多，见的也少。在应用方面，国人急功近利的把其应用在非常多领域，不管正确与否，只要能凑够字数就行。反对为论文而论文的研究，支持有突破性的应用。

yghit08

yugang2010 发表于 2013-6-2 14:56

                               
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其实，关于EMD算法改进，国人做的基本都是面上的，一般是与某些算法结合，然后经仿真信号应用后可行。国外 ...

这点我不否认，至少解决了他们文中的问题。突破性研究不可能一蹴而就。与其发帖埋怨，不如脚踏实地真干！从你对傅里叶变换、小波分析、EMD之间的关系的观点看，你自己在这些方面的理解还有待提升！
责人容易非己难——共勉

yunhui

yugang2010观点的亮点是抓住了三种方法的特点——基函数，个人感觉yghit08老师的观点更高屋建瓴一些，顶一下。

yugang2010

yghit08 发表于 2013-6-2 15:06

                               
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这点我不否认，至少解决了他们文中的问题。突破性研究不可能一蹴而就。与其发帖埋怨，不如脚踏实地真干！ ...

恩，学生受教了...

惊蛰谷雨

第一回发帖   刚刚接触信号处理这个领域  受教了

jennythink

EMD是用于信号分解的，属于谱分析吗？另外，EMD是不是和小波变换一样，可以用于信号的去噪？这方面的研究是不是又属于大家说的急于应用了？对于EMD理论的改进是不是就到EEMD了？对于EMD的进展和改进算法的把握，除了要广泛阅读论文自己整理以外，还有没有别的工作方法？万一自己整理的不够全面怎么办？问题肤浅，请不吝赐教~

sunyuxinhe

jennythink 发表于 2013-10-28 12:50

                               
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EMD是用于信号分解的，属于谱分析吗？另外，EMD是不是和小波变换一样，可以用于信号的去噪？这方面的研究是 ...

1、EMD是信号分解工具，EMD的结果进行hilbert变换才有谱分析
2、EMD本身抗干扰能力很差，至于用到去噪，还没听说过。
3、EEMD与EMD的区别，可以参考中文文献，西交大一位老师，雷亚国有写。
4、EMD本身的算法，湖南大学有个教授于德介做过一个自然科学基金，早在2006年就写过一本HHT专著。可以参阅。

jennythink

sunyuxinhe 发表于 2013-10-29 00:20

                               
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1、EMD是信号分解工具，EMD的结果进行hilbert变换才有谱分析
2、EMD本身抗干扰能力很差，至于用到去噪， ...

谢谢了！真是很耐心的回答。

珞珈山下

那POD呢？在信号处理中是一种怎样的角色？

shuihai707

谈谈我对信号分解的理解。目前的信号分解主要就是把信号表示成基函数的线性组合的形式。基函数的选取是关键。基函数的选择大概分为两类：第一类是有明确的表达形式，比如小波基和过完备原子库，小波基的优缺点多数文献都有，我就不说了。过完备原子库关键是其中的基函数的类型要丰富，才能用基追踪、匹配追踪等方法实现稀疏分解，所以过完备元字库的构造是这类方法的关键。第二类方法就是以EMD为代表的经验算法，这类算法的基函数没有明确的表达式，只有描述性的定义，从数据中学习基函数，这种灵活性也是一把“双刃剑”。一方面这种方法基的形式是一般的，而且基由信号决定；另一方面这种描述性定义很容易有“破绽”，比如就有文献证明存在EMD所产生的IMF，其解析相位导数在时间的开区间上为负。上述这些方法的基础都是傅里叶变换（过完备原子库中原子的构造离不开傅里叶变换，HHT中的Hilbert变换离不开傅里叶变换），所以个人认为未来的发展方向还是让傅里叶变换更具“自适应性”。

yghit08

shuihai707 发表于 2013-12-6 10:35

                               
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谈谈我对信号分解的理解。目前的信号分解主要就是把信号表示成基函数的线性组合的形式。基函数的选取是关键 ...

基函数始终是关键，这也是从数学的角度看这类问题（基函数、空间测度论、正交性、完备性，这样的一系列的概念从数学上来讨论会变得非常简单：有一整套成熟的理论和方法分析这一类问题）：傅里叶变换的基函数就是简单的三角函数，小波的基函数具体定下来，但是有相应的构造方法，值得注意的是小波分析中基函数的构造需要满足几个条件（正交、能量有限等），一旦确定了构造基函数的方法那么基函数就是确定的了（母小波、子小波、多分辨率分析、正交），具体的就是分解过程中其他参数的设置。继续的发展就有自适应基函数，这一类方法在基函数的选择上就希望能够根据信号自身的特点引导基函数的产生，但往往造成计算量巨大，难以实现。到了EMD这的话，EMD没有做基函数的概念，但是定义了IMF，这里的IMF定义也是从目前瞬时频率的概念上导出来的，具体见（褚福磊，彭志科，冯志鹏等. 机械故障诊断中的现代信号处理方法[M]. 科学出版社. 北京：2009这本书的第五章阐述的不错）。可以说EMD这类方法再过四五年没有大突破将被淹没

shuihai707

yghit08 发表于 2013-12-6 11:54

                               
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基函数始终是关键，这也是从数学的角度看这类问题（基函数、空间测度论、正交性、完备性，这样的一系列的 ...

认同你的观点，这种经验算法，没有理论支撑，就会淹没在历史长河之中，不会向傅里叶变换，小波变换这样传承下去。

shuihai707

yghit08 发表于 2013-12-6 11:54

                               
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基函数始终是关键，这也是从数学的角度看这类问题（基函数、空间测度论、正交性、完备性，这样的一系列的 ...

另外，像最近几年比较火的稀疏分解，压缩感知（包括自适应傅里叶分解，这种分解方法其实就是利用稀疏分解的思想，构造过完备原子库，然后利用贪婪算法进行分解的）等理论，咱们这个版块没有讨论，版主向上级建议一下，增设一下这样的标题，让我们信号处理板块也能紧跟时代理论发展，不能仅仅停留在FFT、小波、HHT等方面。