关于Euler角和角速度变换的问题

chunshui2003

   很久没有在论坛里发帖子了，最近在研究转子系统弯扭耦合振动的问题，对于单盘转子6自由度系统（3个平动，3个转动）为了计算方便，需要通过Euler转角变换将固定坐标系转换为固结于圆盘与圆盘一起转动的坐标系（简称为转动坐标系）。Jeffcott转子系统模型如下图所示

Jeffcott转子模型

oxyz是系统平衡时的固定坐标系，x,y,z分别是对应的平动自由度，theta_x,theta_y 是对应绕ox和oy轴的转动自由度，alpha是绕oz轴的轴向扭转自由度，phi是圆盘绕oz的转角。而o1x1y1z1是运动时系统的平动坐标系，o1_eta_ksai_zeta是固定于转盘上的转动坐标系。

    经过三次Euler角变换，得到如下所示系统的坐标系和Euler角

系统坐标系和Euler转角

    其中Euler角转动顺序应该是：

1 旋转y1轴，得到z1到z2，x1到x2的theta_y转角

2 旋转x2轴，得到y1到y2，z2到zeta的theta_eta转角

3 旋转zeta轴，得到x2到eta，y2到ksai的alpha+phi转角

PS：文献中并未提及转动顺序，但经过尝试只有这种情况才符合图示的标注顺序。

    那么根据空间直角坐标系转动的规则，每一次旋转相应的旋转矩阵应表示为：

1 旋转y1轴，theta_y转角

Ry1

2旋转x2轴，theta_eta转角

Rx2

3旋转zeta轴，alpha+phi转角

Rzeta

总体的旋转矩阵为：

R

作者在文中提到，圆盘在o1x1y1z1坐标系的瞬时角速度可以表示为（这个可以理解，没有问题）：

原坐标系瞬时角速度

同时，作者指出：因为theta_eta ≈ theta，通过三个Euler角，在o1_eta_ksai_zeta坐标系中，圆盘的瞬时角速度可以表达为：

新坐标系瞬时角速度

我的问题便和上面这个表达式的形成有关：

1 瞬时角速度在新坐标o1_eta_ksai_zeta与原坐标o1x1y1z1的关系是否是通过旋转矩阵得到的，即

omega

如果是的话，为什么我的计算旋转矩阵计算结果与文献中相差那么大（即便是做了简化，比如在转角较小的情况下令sin(theta_y) = theta_y, cos(theta_y) = 1等等）；如果不是的话，应该采用什么样的方式得到文献中的结果。

2 文献中o1_eta_ksai_zeta的瞬时角速度是否是按照投影的规则形成，而和Euler转角没有关系。

因为观察表达式可以发现，再不考虑zeta轴的情况下（仅研究o1x1y1和o1_eta_ksai，相当于平面直角坐标系的转动变换），瞬时角速度在eta轴和ksai轴的投影表达式符合规律。但加入zeta轴之后，其在该轴的投影是从何得来又不得而知。

上面这个问题已经困扰我几天了，查阅了很多资料也没有得到很好的解答（钟一鄂的转子动力学有一些涉及，但关于向量的推导不是很理解）。拜托各位给解释一下，如果方便的话希望能说得详细一些。

PS：上述模型和表达式来自于文献“沈小要. 超超临界汽轮机组转子系统振动特性及若干故障转子非线性特性的研究[D]. 上海交通大学，2007 ”第六章。

chunshui2003

这几天又看了《转子动力学》，其中第9页给出了一种解释，可以将omega看作是在两个坐标系内的合成。第一个是o1x2y2z2，给出omega在此坐标系的投影，这个相当是平面直角坐标系的转换；第二个是o1x2y2z2与o1_eta_ksi_zeta之间的关系，需要用到一个空间转换矩阵。这样就能够得到最终的表达式了

yejet

chunshui2003 发表于 2015-6-25 08:39
这几天又看了《转子动力学》，其中第9页给出了一种解释，可以将omega看作是在两个坐标系内的合成。第一个是 ...

说的是钟一鄂写的转子动力学吧

chunshui2003

是的，就是钟一鄂的书，其实很早之前就有答案了，只是我没看懂

yejet

chunshui2003 发表于 2015-10-22 09:06
是的，就是钟一鄂的书，其实很早之前就有答案了，只是我没看懂

不算零散的翻阅，这本书我系统的看了三遍，不错的一本书，每次重新看都很有收获

chunshui2003

yejet 发表于 2015-10-22 09:15
不算零散的翻阅，这本书我系统的看了三遍，不错的一本书，每次重新看都很有收获

我应该向您学习才对，自然科学知识一旦成型是永远都不会变化的，转子动力学在那个年代实际上就已经发展到比较高的高度了，那本书可以说是精华，现在的书和钟一鄂的相比差距真是明显。

yejet

chunshui2003 发表于 2015-10-23 08:44
我应该向您学习才对，自然科学知识一旦成型是永远都不会变化的，转子动力学在那个年代实际上就已经发展到 ...

是这样的，线性方面的问题，这本书已经非常系统和全面了