关于振动和波动之间联系的一点想法

河洛之南

一直在想振动和波动的联系，得到了几个想法，跟大家讨论一下，想的不全面，希望各位多多批评和指导。

首先确定一下，它们是基于同一个偏微分方程来求解。

振动分析：

模态叠加法或者说分离变量法

(1)物理意义上是来源于弦振动产生的声音可以分解成为各种不同频率、不同振幅的单音的叠加，因而设想弦的振动也可以分解成为各种不同频率正弦波的叠加;

(2)数学上是将w(x,t)分解成为X(x)和T(t)，从而转换偏微分方程为两个常微分方程，分别求解。

波动分析(或者说行波分析？)：

(1)直接积分的方法求解偏微分方程，得到方程的解，即达朗贝尔波动解，为一正一反相反方向传播的行波的叠加，f(x-ct)+f(x+ct)；进而，如果假设这两个波都是简谐波，e^(iwt-kx),其实已将x和t分离了开来，我理解的是和离变量法就是相同的思路；

(2)进行傅里叶变换后求解。傅里叶变换属于谐波分析，那么也是用谐波也叠加得到真实的位移，所以在数学上应该也是等价的。

所以，两者在求解稳态振动时结果就是一样的。

但是如果我要求解的是瞬态振动，也就是波动传播尚未到达反射界面，那么用波动分析肯定是能得到波动传递的效果，但是这个时间会很小。至于

ANSYS为什么会出现波传播的现象猜想也是用的谐波叠加？(本质上和分离变量法没有区别)，现用有限元设置非常小的时间步出现如振动论坛上版主那样的计算效果。

Rainyboy

这种东西靠定性的想不大容易得到准确的结论，最好是着手用两套思路算一算，解决同一种问题，可以分别试试：（有限/无限 的 杆/梁/板）+（稳态/瞬态 响应），一种十二种组合。也不用都试完，大概亲自算过一些之后就有体会了。
关于这个我写过一个“理解波动”系列，在我的个人主页可以查到，欢迎查看讨论。

河洛之南

Rainyboy 发表于 2015-8-15 20:07
这种东西靠定性的想不大容易得到准确的结论，最好是着手用两套思路算一算，解决同一种问题，可以分别试试： ...

我就是仔细看过您的帖子才有这些想法的，我仿照您的例子做过一些算例，比如您用ANSYS在有限梁上算出波动效果的那个例子，那个时间步设置的很小，而且波传播到边界的时间很短，是个瞬态效应。我用有限元程序编程得到质量阵和刚度阵，用newmark法计算响应，也能看到有距离的两点之间存在时间差，但是不如ANSYS 明显（ANSYS的瞬态法）也就是说程序计算的瞬态结果在这里和ANSYS误差有些大。而如果算稳态问题，比如求解固有频率和振型，结果就是相同的。