有限元分析的带粘性项的牛顿流体求解步骤

Agoni

有限元方法相对于差分法而言，数学的意味更浓，物理过程不甚明晰。在利用有限元的方法求解特定边界条件的N-S方程时，形式较差分法也更复杂一些。以特定边界的带粘性项的牛顿流体的求解为例，向自己说明利用有限元方法求解N-S方程的步骤。

　　首先是通过给定条件将N-S方程化简，确定边界条件，包括入口、出口和壁面等。然后，将计算区域离散，使用四边形网格。其中计算压强时使用线性单元，计算速度时使用二次单元。​确定u,v,p的插值函数，并代入N-S方程行程加权余量方程，把插值函数带入后将单元的加权余量方程封装成子块Be,Ce,De,Fe,Ge，建立单元方程。组合成总体方程后，得到待求解的矩阵。使用Newton-Raphson迭代法求解这个非线性方程。当u,v,p的计算结果与上一次的计算结果的误差小于一定值时，输出计算结果。

　　这个步骤的计算误差主要来源于在​在封装子块时的数值积分和使用N-R迭代法时带来的误差。有限差分法的误差来源于差商代替偏微分项、差分方程代替偏微分方程时的截断误差。限于目前为止的学习，我觉得前者的误差来源简单、可控，而后者需要减小误差时，必定会改变差分格式，导致差分方程复杂化。在保持简单优美的格式的前提下需要加入人工粘性项，使用光顺等方法来保证精度，提高收敛速度。相较于差分法的自由，有限元方法封装得更加整齐

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