Hilbert变换及谱分析

Pseudo-lover

Hilbert变换是一个很有用的变换，用它来做包络分析更是一种有效的数据处理方法。现用代码测试其变换效果

第一个程序效果如下

1. % Hilbert变换测试
   
2. clc
   
3. clear all
   
4. close all
   
5. ts = 0.001;
   
6. fs = 1/ts;
   
7. N = 200;
   
8. f = 50;
   
9. k = 0:N-1;
   
10. t = k*ts;
    
11. % 信号变换
    
12. % 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号
    
13. y = sin(2*pi*f*t);
    
14. yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号
    
15. yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换
    
16. figure
    
17. subplot(211)
    
18. plot(t, y)
    
19. title('原始sin信号')
    
20. subplot(212)
    
21. plot(t, yi)
    
22. title('Hilbert变换信号')
    
23. % 检验两次Hilbert变换的结果（理论上为原信号的负值）
    
24. % 结论：两次Hilbert变换的结果为原信号的负值
    
25. yih = hilbert(yi);
    
26. yii = imag(yih);
    
27. max(y + yii)
    
28. % 信号与其Hilbert变换的正交性
    
29. % 结论：Hilbert变换后的信号与原信号正交
    
30. sum(y.*yi)
    
31. % 谱分析
    
32. % 结论：Hilbert变换后合成的复信号的谱没有大于奈氏频率的频谱，即其谱为单边的
    
33. NFFT = 2^nextpow2(N);
    
34. f = fs*linspace(0,1,NFFT);
    
35. Y = fft(y, NFFT)/N;
    
36. YH = fft(yh, NFFT)/N;
    
37. figure
    
38. subplot(211)
    
39. plot(f,abs(Y))
    
40. title('原信号的双边谱')
    
41. xlabel('频率f (Hz)')
    
42. ylabel('|Y(f)|')
    
43. subplot(212)
    
44. plot(f,abs(YH))
    
45. title('信号Hilbert变换后组成的复信号的双边谱')
    
46. xlabel('频率f (Hz)')
    
47. ylabel('|YH(f)|')

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第二个效果如下

第一个包络测试

可以看到，此包络分析得到的包络信号频率为20Hz，包络信号的波形为余弦信号的绝对值信号，这是因为计算包络时是取绝对值得到的，从而使信号频率加倍。解决方法是把包络提升，远离0，如下第二个包络。

第二个包络测试

可以看到Hilbert包络分析可以有效提取包络和调制信号频率，和检波有一样的效果，而且更实用。

第三个包络测试

这是尝试一个任意形状的包络，可以看到除在边缘处有误差外，整体效果很好。

1. % 包络分析(高中心频率的窄带信号分析)
   
2. % 基于：两个信号乘积的Hilbert变换取决于高频信号的Hilbert变换
   
3. clc
   
4. clear all
   
5. close all
   
6. ts = 0.001;
   
7. fs = 1/ts;
   
8. N = 200;
   
9. k = 0:N-1;
   
10. t = k*ts;
    
11. % 原始信号
    
12. f1 = 10;
    
13. f2 = 70;
    
14. % a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1
    
15. a = 2 + cos(2*pi*f1*t);     % 包络2
    
16. % a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3
    
17. m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号
    
18. y = a.*m;  % 信号调制
    
19. figure
    
20. subplot(241)
    
21. plot(t, a)
    
22. title('包络')
    
23. subplot(242)
    
24. plot(t, m)
    
25. title('调制信号')
    
26. subplot(243)
    
27. plot(t, y)
    
28. title('调制结果')
    
29. % 包络分析
    
30. % 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等
    
31. yh = hilbert(y);
    
32. aabs = abs(yh);                 % 包络的绝对值
    
33. aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位
    
34. af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
    
35. % NFFT = 2^nextpow2(N);
    
36. NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应
    
37. f = fs*linspace(0,1,NFFT);
    
38. YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱
    
39. A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱
    
40. subplot(245)
    
41. plot(t, aabs, t, a, '.')
    
42. title('包络的绝对值')
    
43. legend('包络分析结果', '真实包络')
    
44. subplot(246)
    
45. plot(t, aangle)
    
46. title('调制信号的相位')
    
47. subplot(247)
    
48. plot(t(1:end-1), af*fs)
    
49. title('调制信号的瞬时频率')
    
50. subplot(244)
    
51. plot(f,abs(YH))
    
52. title('原始信号的Hilbert谱')
    
53. xlabel('频率f (Hz)')
    
54. ylabel('|YH(f)|')
    
55. subplot(248)
    
56. plot(f,abs(A))
    
57. title('包络的频谱')
    
58. xlabel('频率f (Hz)')
    
59. ylabel('|A(f)|')

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转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102e1wv.html