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[小波] 冗余小波包合成以及降噪试验和能量守恒定标

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发表于 2016-5-31 15:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  小波经典名著“十讲”,在3.6节早已指出,小波框架可以是冗余的,而且冗余可能给某些应用提供值得追求的好处;在10.6节还称赞,能量有限信号空间中通常的小波包,是“绝妙构造”(李建平、杨万年译)。不过,完整的小波包分解树上的数据集,是对被分解信号的相当冗余的描述,而这一特点的开发价值并不算明确。提到某个观点、给出几个数学式,这距离繁复发展的适用技术,常很遥远。

  被处理序列,实际上常常是有限长的,就自然地限定了可能表达的最大自由度,严密地是有限维复线性空间中的一个点,都可以简便地经历居士建立的离散小波包的处理,若它与另外的研究对象(如某个连续时间函数)之间的过渡联系已知或被附加假定,那么当确有必要时依靠复合映射,处理也可能反映更多含义。至少从这种角度看,居士建立的变换理论、算法以及大量扩充的周期化正交滤波器序列,已是Wickerhauser的著作出版(1994年)后,小波包研发的重要发展。已提议的一些应用例子,需更多细致的检验提升。

  小波包合成,如果,被给定的初始数据(包括零值)点,都属于同一个小波包基上的全部可能系数的子集,则可称为无冗余合成;如果,数据点,有“父子节点直系”位置关联,或者需要了相同的节点位置而不同的分解,属于至少两组小波包基,即使总点数仍小于所用向量空间的维数,则都归为冗余合成。

  Wavelab中Mallat 等的“匹配追赶(Matching Pursuit)”、“由满小波包表合成信号(Synthesize signal from full wavelet packet table)”,就可被用为容许冗余的合成技术。

  与小波包分解的计算流程相比,最佳小波包基搜索(都基于Coifman和Wickerhauser的相同的概念形式)和基的管理以及小波包合成的程序,可更多反映出研发者的思想特点。以前,居士博文中的降噪、重建误差测试等(包括:只存储有小波包域数据,需用双向树来生成完整的数据矩阵),用到的小波包合成的函数子程序,都不容许冗余。居士曾试过些冗余合成的想法,企图利用不同基的系数的“最佳的程度”以及它们之间的联系特点,而未得满意结果,却在程序中长期保留了并无真正计算的条件语句。现已不再保留它们了,不过,以此短文,报告基于“全树冗余合成”的降噪试验为纪念。

  试验1:使用最新Tpwp子程序集,重新运行《结合移位(Cycle-Spinning)平均的小波包域降噪的程序》(2013-10-15)中生成 “图片1. 三个典型信号的小波包域7种门限降噪法结合16步移位平均的结果”的旧程序TDen3Signals.sci。

  试验2:把试验1的TDen3Signals.sci中的参数,Wp.RightShift=1改为Wp.RightShift=[],即设置于DFT(调工作平台的FFT函数)算法模式,以减小耗时量,并且,为了控制复数,在绘波形图的语句中插入real取实部,在计算序列误差的语句中插入abs取模,而后再运行它。

  试验3:用与试验2相同的方式,即只用最佳小波包基系数序列,计算阈值;然后,包括所有尺度的分解数据矩阵,包含原始序列,被作为单个向量一样做门限处理。

  试验4:不选择基,而把包括所有尺度的分解数据矩阵,视为试验2中的最佳小波包基系数系列一样,用于计算阈值和门限处理。

  试验3、4的主程序,由试验2的程序改成。改变包括: A. 增加语句clear TcyspDenois 和load(‘TreeDenois.bin’),以重载函数子程序;B. 用语句[xpwpd0]=TreeDenois(xn0,Wp,DenMode1) 替换[xpwpd0]=TcyspDenois(xn0,Wp,DenMode1)实现降噪;C. 在控制小波包变换的结构变量中,增加两个参数域(field),即Wp.TreeThrUse和Wp.TreeSynAd0。

  用全树冗余合成以降噪的子程序,在Wp.TreeThrUse为大于零的数时,按上述试验4计算阈值,否者按试验3计算。当且仅当Wp.TreeSynAd0的值是大于零的数时,零节点的数据也参与合成。

  由不同小波包基合成的部分结果,机械地相加。试验4中,叠加的结果,再除以总的尺度数目后,作为降噪输出。当最佳基系数序列用于计算阈值并经门限处理后的范数为n时,如果,全树合成序列的范数大于n,那么被重置为n,所以标题说“能量守恒定标”(正交变换)。

  试验1耗时约819秒,在Scilab-5.3.3的命令窗中显示了(format(‘v’,10) 格式),与2013年时完全相同的结果数字(TestRMSE,未因新子程序集而变化)。

  试验2与试验1的结果很相近。试验2、3、4,分别约耗时566、1822、1817秒,它们的统计结果分别集中于图片1.的左、中、右三列。可见,在降噪中采用全树冗余合成,当信噪比偏高时,这费时而不得好,但某些情况下(如第二行的信号,低信噪比时),这可能有点益处。

  在一些应用中,如果,信号的绝对强度,不重要,那么,降噪后的输出,可以再经幅度或范数的归一化处理,对此而言,基于输出序列的RMSE(显然,对定标因子很敏感)的评价,可能贬低了某些降噪方法。最终令人感兴趣的常是:由序列得出的参数的观测值,偏离理想值的均值、方差,都应尽可能减小。

  降噪和计算阈值的新函数,已大放宽了,对输入序列能量的限定。用两年前上载的旧程序集时,输入序列中的噪声总能量,应远大于机器精度值,如果,保持信噪比不变,把含噪声的输入序列乘以一个极小的常数(如10的负28次方,噪声标准差远远小于1),那么,噪声能量阈值法会失败。而今,即使把输入序列乘以10的正或负280次方,在很宽的信噪比范围内,也不见异常结果。“无噪”和“无信号”等极端状况或临界点,已得到更精确的判别和控制,这种调整的影响容易通过试验3显现。据《降噪实验的功率限制以及Donoho阈值的复杂依赖性》(2014-04-12)的图片1.的内容,重新做极高信噪比条件下的测验,可见失真已显著减小,如本文后的图片2.中红线所示。

  居士仍不明,SURE熵准则的优势,虽然,Matlab的小波工具箱和Wavelab的小波包降噪,都一直陷于SURE。随着小波包被提出,其倡导者早就指出了应用于降噪的可能,不过,长期以来,基于FIR滤波器组的普通小波变换的应用研究,更活跃。

  图片1. 试验2、3、4的结果曲线图分别在左、中、右三列
   12.jpg

  图片2. 优化能量限制减小极高信噪比时(2014-04-12图片1)失真
13.png


转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140102w259.html

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