一个说明有限元法数学原理的简单实例

springsigs

　　如下图所示，一个圆截面杆件一端固定，另一端施加拉力P，计算杆件的变形以及受到的应力。

　　模型是一个简单的杆件，可以简化为1D单元，1D单元有不同类型，本例设定为桁架单元(truss element)，只能承受轴向力。如下图所示，为了方便计算，我们把杆件划分为2个单元和3个节点(节点a，b，c)。

　　其中每个节点都受到相应的外力(由外部载荷P引起)和内力l(由内部应力引起)。当模型处于静力学平衡时(static equilibrium)，节点力(作用于节点的内力和外力的合力)必须等于0，每个节点的受力平衡如下图所示：

　　假设杆件变形过程中伸长量很小，对于单元1(element 1)的应变有：

　　其中ua和ub分别为节点a和b的位移(displacement)，L为单元1(element 1)的长度。假设材料为弹性材料，杨氏模量为E(Young's Modulus)，则由材料力学可得单元1的应力：

　　作用于节点a的轴向力等于应力乘以横截面积(cross-sectional area)，所以可以得到内力、材料属性以及位移的关系如下式：

　　由力学平衡可得：

　　即：

　　同样的方法，运用力学平衡和材料力学公式可以得到节点b的平衡式如下：

　　节点c的平衡式如下：

　　将节点a，b，c的平衡式写成矩阵形式，得：

　　这样，我们就得到了杆件的平衡方程，由于节点a固定，所以位移定于0，又联立Pb=Pc=P，这样我们就可以得到节点b和节点c的位移以及Pa，算出位移之后，我们就可以返回去算出应力值。
　　其中EA/L就是我们常说的刚度，当然在很多时候，每个单元的刚度并不一样，如本例，如果两个单元的长度不一样，则刚度也不一样。当刚度不一样时，设单元1和单元2的刚度分别为K1和K2，此时平衡方程有：

　　上面这个例子简单的说明了有限元法的数学原理，有限元法的核心思想就是离散化分割为有限个单元，将无穷转化为有限。实际问题的计算并没有这么简单，但思想是类似的，对力学问题来说，总可以列出形如下所示的外力和内力平衡的方程：




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