姬扬：力学教学笔记之让子弹飞

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作者：姬扬

物理学的目标就是找到问题，找出问题的主要矛盾，然后解决它。为了抓住主要矛盾，就要分析各种可能的影响因素，比较它们的强弱大小，常常需要做些简单的估算。这些话听起来了无新意，不过是老生常谈。因为泛泛而谈无法让初学者领会其实质，所以，我们用个简单的例子来说明一下。

狙击手问题：在1000米以外，击中半径为10厘米的靶子。这是非常困难的目标，但是优秀的狙击手都可以做到。据说，狙击距离最远的成功案例达到了2430米。

逐个考虑影响因素。

最简单的情况是，真空中的射击问题。没有空气，没有重力，子弹的形状和质量也不用考虑，当作质点处理。那么，只需要瞄准就行了，两点之间一直线。显然，为了击中目标，瞄准的偏差角度δθ必须小于10⁻⁴弧度，大概是20角秒的样子。换个说法，假设枪长为1米，那么枪口偏离的高度不能大于100微米，也就是几根头发丝的粗细。

然后考虑重力的影响。重力使得子弹下落，下落距离为1/2gt2，其中， g为重力加速度，t为飞行时间。假定子弹速度为每秒1000米，那么，飞行时间为1秒钟，下落距离为5米。为了补偿这个效应，枪口要往上抬一些，大约5×10⁻3，因为初始的垂直速度大约是5米每秒。幸运的是，瞄准偏差的要求仍然是10⁻⁴。显然，如果在月球或者黑洞附近射击，枪口上抬的角度会显著不同。

接下来考虑地球自转的影响。是的，你没有看错，地球自转也应该考虑的。地球的角速度大约是7×10⁻⁵弧度每秒，由此导致的最大偏差值大约是7厘米，所以也要进行修正。当然，具体的修正值还依赖于射击者的纬度和射击方向，以及子弹的速度。这就是所谓的科里奥利力的影响。

最后考虑空气的影响。

• 子弹在整个飞行过程中排开空气质量与其本身质量的比值为ρ1l1/ρ2l2，依赖于空气与子弹的密度之比ρ1/ρ2和飞行距离与子弹长度之比l1/l2。这个比值越小，空气的影响也就越小，所以狙击弹通常选用密度大的金属，炮弹也是如此。很不幸，带入数值后发现，即使是用铅甚至贫铀弹，对于5厘米长的子弹来说，这个比值也大于1。所以，必须考虑空气的影响。如果是在火星上射击，这个影响会小得多，因为火星大气密度只有地球的1%左右。
  
• 空气产生的阻力。这就是风阻，不仅是子弹，汽车、高铁和飞机都有这个问题。简单估计一下，阻力正比于ρSv2，大致是单位时间内排开的空气质量ρSv和速度v的乘积(其实就是冲量定理)。当然，这里还差了一个所谓的风阻系数，它依赖于子弹的形状。所以，子弹也要尽可能做成流线型的，减小阻力。同样的截面积，不同的形状，风阻可以相差几倍、几十倍。为什么以前的是铅丸、现在的是子弹，道理就在这里。风阻会使得子弹速度变慢，枪口也就需要相应地再次抬高，更讨厌的是，现在的轨迹不在是抛物线，也要进行相应的修正。
  
• 上面的风阻考虑得不周详。主要是因为子弹的速度太快，超过了空气的特征速度，也就是声速，会产生激波，增大损耗(这就是所谓的音障)。轨迹问题变得更为复杂。这两个因素都太繁琐，所以也就不做计算了。
  
• 微风徐来。风速比子弹速度小得多，假设是10米每秒好了(其实这已经很大了，狙击手应该会放弃任务了)。沿着子弹方向的风速影响不太大，飞行时间会有1%的差别，由此估计落点高度会偏差大约5厘米，也需要做相应的修正。垂直于子弹方向的风速，影响就很大了，也可以用类似风阻的方式来估算，但是又两个差别：①侧面的截面积远大于正面，②侧面的相对速度远小于正面。虽然繁琐，但也是可以修正的。
  

空气的影响还有很多，上面这些仅仅是准稳态情况，也就是说，这些条件是固定不变的，即使有风，你也要保持不变，还要一路上都是均匀地吹。但是，现实条件恶劣得多。所以，枪管里要做出膛线，让子弹旋转起来。

子弹的流线型是相对于飞行方向来说的。子弹的流线型不是完美，偏差会产生子弹两侧的压力差，就会让子弹轴向偏离于飞行方向。即使是完美的子弹，空气的密度涨落、风向反复也会让子弹偏转。一旦子弹的轴向偏离了飞行方向，阻力就会增大很多，阻力的分布差别还会让子弹转起来，飞行轨迹就彻底乱掉了。

为了克服上述困难，可以让子弹绕着其轴向自转，产生行进方向的角动量。这样的子弹就是一个陀螺，其轴向基本保持在飞行方向上，保证了飞行轨道的稳定性。这里面的道理讲起来略微有些长，我准备专门写一篇《力学教学笔记之进动的陀螺》。

子弹的自转还有这样的作用。子弹形状的偏差导致的流体力学效应，在子弹转动的时候，就会被平均掉。比如说，起初由上而下(或由左而右)的气压差别，在子弹转动了180度以后，就会变为由下而上(或者由右而左)。

这些困难也可以通过尾翼来克服，就像飞镖或者导弹那样。但是做起来太麻烦了，不值得，还是用膛线让子弹旋转起来更简单。

简单总结一下。射击成功需要进行各种细致的修正，稳态条件的修正包括，风速、重力、射击位置和方向、温度和气压(空气密度)以及子弹的材质、造型和初速度，动力学的修正主要是靠膛线让子弹转起来，靠的是陀螺效应和旋转平均效应。

射击这么一个小小的问题，需要考虑的因素都这么多，何况更加复杂的物理学问题呢？但是复杂归复杂，细致地分析逐个因素，终归是可以解决的。物理学的教学就是帮助你学习这种分析方法。

PS：
显然，为了射击远处的目标，就要增大子弹的口径。因为阻力虽然正比于口径的平方，但是子弹的初始能量正比于口径的立方：口径越大，装药量也就越大。这是个体积关系，而风阻是面积关系。

依赖于射击的距离和子弹的初速度，射击问题的具体形式有很大差别，其中的主要矛盾也各不相同。飞镖比赛、十米速射、双向飞碟有自己的困难，高射炮和火箭炮还要考虑大气密度随高度的变化，洲际导弹乃至卫星的发射，更是要飞出大气层，考虑的侧重点当然也就各有不同了。

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