《古今数学思想》读书笔记（二）

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第二章：埃及的数学。

题词是穆尔（E. H. Moore）的：“所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数——所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。”跟上一章《美索不达米亚的数学》的题词，亥维赛（Oliver Heaviside）的：“逻辑可以等待，因为它是永恒的。”相映成趣。两句话都正确，但侧重点刚好相反。逻辑等待了中国文明很长时间，但一直没有等到，浩叹！

“古埃及人造出了他们自己的几套文字。其中有一套是象形文字……从公元前2500年左右起，埃及人用一种所谓僧侣文（hieratic writing）来作日常书写。……书写的方式是用墨水写在草片（papyrus）上，这是把一种木髓紧压后切成的薄片。因草片会干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。”Papyrus也译作莎草纸或纸草。“莎草纸”并不是现今概念的“纸”，它是对纸莎草这种植物做一定处理而做成的书写介质，类似于竹简的概念，但比竹简的制作过程复杂。对古代写在莎草纸上手稿的研究，或称为纸莎草学，是古希腊古罗马历史学家的基本工具。

“现存的数学文件主要是两批草片文书：一批是保存在莫斯科的，叫莫斯科草片文书；一批是1858年英国人莱因德（Henry Rhind）发现的，现存英国博物馆，，叫莱因德草片文书。莱因德草片文书又叫阿梅斯（Ahmes）草片文书，因其作者叫阿梅斯。他在这文书的开首写了如下这句话：‘获知一切奥秘的指南。’这两批草片文书都是公元前1700年左右的东西。”阿梅斯很有老子的范儿：玄之又玄，众妙之门！

“此外还存有写于这一时代及其后的一些草片文书的片断。数学草片文书的作者是在古埃及政府和教会行政机构中工作的书记。”看来埃及人还实现了秦朝的“以吏为师”。

“埃及数系中分数的记法比我们今日的复杂得多。……除了几个特殊分数之外，所有分数都拆成一些所谓单位分数。例如，阿梅斯把2/5写成1/3+1/15。莱因德草片文书里有个数表，把分子为2而分母为5到101的奇数的这类分数，表达成分子为1的分数之和。利用这表，可把7/29……表达成单位分数之和。由于7 = 2 + 2 + 2 + 1，他把每个2/29表达成分子为1的分数之和。……7/29的最后这种表达式是1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/232。……埃及人之所以未能把算术和代数发展到高水平，其分数运算之繁复也是原因之一。”这样看来，意识到所有分数一律平等，至少所有的整数相除的分数一律平等，也是一个伟大的进步。

“他们对圆面积的计算好得惊人，用的公式是A = (8d/9)^2，其中d是直径。这就相当于取π为3.1605。”这个公式相当于A = (16/9)^2*r^2，即取圆周率为256/81 = 3.1604938271604938271604938271605。

“略举一例便可说明埃及人的面积公式多么‘准确’。在埃德富（Edfu）一个庙宇的墙上刻有一个捐献给庙宇的田地表。这些田地一般有四边，今将其记之为a，b，c，d，其中a与b以及c与d是两批相对的边。铭文给出的这些田地的面积是(a+b)/2*(c+d)/2。但有些田地是三角形的，这时他们认为d就没有了，面积的算法变成(a+b)/2*c/2。即使对四边形来说，这种算法也只是粗略的近似。”这么粗糙的面积计算水平真是令人大汗。他们是怎么造金字塔的？！

“埃及几何里最了不起的一个法则是计算截棱锥体的体积公式。锥体的底是正方形，这公式用现代的记号是V = h/3 * (a^2 + ab + b^2)，其中h是高，a和b是上下底的边。这公式之所以了不起，乃是因为它正确，而且表达的形式是对称的。”

“埃及人靠观察天狼星算得太阳年的日子数。……埃及人（一般认为是在公元前4241年）采用365日为一年的民历。……因埃及人没有在每四年内加插一天，他们的民历就要慢慢落后于季节。这种民历需要经每1460年之后才能又符合季节；这段时期叫索特周期（Sothiccycle），这是因为埃及人称天狼星为索特。但埃及人是否知道索特周期是有疑问的。他们的历法在公元前45年为凯撒（Julius Caesar）所采用，但他采纳亚历山大城希腊人索西吉斯（Sosigenes）的建议，把一年改为365又1/4天。埃及人虽在定出一年的天数和历法上作出了有价值的贡献，但这并不是由于他们的天文学高明，实际上他们的天文学是粗浅的，并且远不如巴比伦人的天文学。”人们往往以猎奇和神秘主义的心态神化古文明的成就，例如说他们的数学、天文和建筑多么精确，现代的科学家都无法解释，以至于怀疑是外星人教的。这样看来，许多这种说法是错误的，古人的成就远不如一般人的想象。

“埃及人把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。……他们竭力使金字塔的底有正确的形状；底和高的尺寸之比也是意义非常重大的。但我们不应把有关工程的复杂性或想法的深奥性过分强调。埃及人的数学是简单粗浅的，并不像过去经常有人宣称的那样包含着深刻的道理。”正理。埃及人连圆周率都只准确到小数点后第一位，怎么可能在金字塔的比例上寄托多少深意？

“我们来回顾一下希腊人出场之前的数学状况。在巴比伦和埃及文明中，我们发现有整数和分数的算术，包括进位制记数法，有初步的代数和几何上的一些经验公式。几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有作出一般的方法论，没有证明甚或直观推理的想法，使人能深信他们所作的运算步骤或所用的公式是正确的。实际上，他们没有想到需要任何理论科学。……虽然巴比伦数学比埃及数学高明些，但我们对两者至多只能说他们表现出一些活力，虽还谈不上什么严密性；他们的毅力超过他们的才力。”毅力超过才力，这个评价好！比用烂了的“有很大的进步空间”有格调多了。

“凡作评价总得有个标准。把这两种文明同其后的希腊文明相比可能并不公允，然而却很自然。按这标准说，埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。我们确实看到有些书上把巴比伦人和埃及人的成就说得更好些甚至加以赞扬。不过那是某些专家们所做的事情，他们也许无意中对其兴趣所专注的领域作了过分热情的传颂。”吴文俊认为：“近代数学之所以能发展到今天，主要是靠中国的数学而非希腊的数学，决定数学历史发展进程的主要是中国的数学而非希腊的数学。”这不就是一个鲜明的例子……

来源：袁岚峰科学网博客