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[其他相关] 基础理论知识:振动与声学量的复数运算规则

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发表于 2017-10-17 10:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  振动与声学量虽然是可观测的实数物理量,但也可用复数表示。复数表示不但可极大地简化数学演算,还可彰显其物理意义,因此无论在线性还是在非线性的声学理论中,均广泛采用复数表示声学量。本文简述声学量的复数表示及运算规则,并举例说明。

  设小写的x为实数量,而大写的X为对应的复数量,即x=Re(X),其中Re(X)表示取复数量X的实部,即:
1.png
  其中右上标的星号“*”表示复共轭操作。显然,实数量x与其对应的复数量X并非一一对应。复数量X加上任意的纯虚数jy并不影响其意义:
2.png

  加法规则
  若x,y和z为实数量,a和b是任意的实数,z=ax+by。设x,y和z对应的复数量分别为X,Y和Z,即x=Re(X),y=Re(Y),z=Re(Z),则因:
3.png
  所以,复数量X,Y和Z之间存在以下关系:
4.png
  现设x是时间t的函数:x=x(t)。它对应的复数量X也是时间的函数:X=X(t)。由于导数和积分本质上是线性加法运算,因此存在关系:
5.png
  即复数dX/dt是实数量导数dx/dt对应的复数量,复数积分∫Xdt是实数积分∫xdt对应的复数量。

  乘法规则
  现设z是x和y之积,z=xy,对应的复量为Z。根据定义:
6.png
  所以:
7.png
  或者
8.png
  再次申明,上式中两个表式所给出的Z,数学上严格而言是不等的,只因Z的实部才有物理意义,故两种表示物理上等价。时间简谐量的周期平均值

  时间简谐量的周期平均值
  复数表示对于简谐声学量的计算尤其有效。假设与时间t的依赖关系为exp(jωt),其中ω=2π/T为频率,T是振动周期,j是虚数。例如,X和Y是时间简谐的复量:
9.png
  其中,XaYa分别为X和Y的复振幅,是与时间t无关的常数。则有:
10.png
  根据:
11.png
  此时乘积z=xy的复数表达式为:
12.png
  上式第二项有时间依赖关系exp(2jωt),描述了乘积量z的瞬态运动。这是一个二次谐波(频率2ω),其周期平均为零。第一项是与时间无关的“直流”项,等于复量Z的周期平均值:
13.png
  所以,乘积量z=xy的周期均值为:
14.png
  即,存在以下重要的乘积平均法则:
15.png
  对于简谐振动而言,振动物理量本身的时间均值往往为零。但如振动量的乘积等非线性运算,多产生类似的“直流”项,因而平均值非零。“直流”和高次谐波的产生为典型的非线性效应。

  以下以若干典型振动与声学量为例,说明复数运算的应用
  单振子周期平均能量
  设有质量为Mm、弹性系数为Km的单振子,其质点的位移为x,速度v,对应的复位移为X,复速度为V。单振子的势能和动能分别为:
16.png
  若单振子仅作简谐振动,则根据乘积平均法则公式,势能和动能的一个周期平均值分别为:
17.png
  对于自由振动,有:
18.png
  代入前式,知平均势能等于平均动能:
19.png

  声能通量密度和声强的运算
  声能通量密度I为声压p与速度矢量v的乘积:I=pv。声压、速度和声能通量密度等物理量本身是实量,但均可以用复数表示。在振动与声的问题中,极大部分情形下所涉及的是复数量及其运算,因此在下文中我们放弃前面采用大写字母表示复量的做法,而一概约定:除非特别说明,所有的变量符号均表示对应实量的复量,如复声压、复速度和复能量通量密度仍用p、v和I表示,如果确实需要用到实数量,则只要对这些复数量取实部操作Re即可。例如,根据
20.png
  复声能通量密度的公式可写成:
21.png
  取实部Re(I)即为实声能通量密度。

  对频率为ω的简谐声波,上式的第一项描述声能通量密度之瞬变,而第二项是“直流”分量,为复声能通量密度之时间均值:
22.png
  取其实部即得到声强:
23.png
  可见,采用复运算,易分离场量(此处是声能通量密度)的时变和时不变成份。

  平面行波情形:对于平面行波,传播方向为n(单位矢量),则媒质质点的振速v=(p/z0)n,代入复声能通量密度的公式和上式得到
24.png
  式中z0= ρ0c0是媒质声特性阻抗率。

  声能密度的复数运算
  用实声学量表示的流体声场的(瞬时)声能密度为:
25.png
  其中的声压p和速度v是实数量。若全改用复量表示,且仍采用相同的变量符号,则上式应改为:
26.png
  对频率为ω的简谐声波,上式后一等式中的第一项描述声能密度的瞬时变化,而第二项是“直流”分量,实为复声能密度之时间周期均值,取其实部即为平均声能密度。因此,简谐声场的平均声能密度为
27.png
  平面行波的情形:对于沿方向n传播的平面行波,把v=(p/z0)n代入上两式得到:
28.png

  来源:网易聲之韻的博客
  作者:南京大學聲學研究所 王新龍

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