自相关函数的性质及其物理意义

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　　自相关函数的物理意义

　　可以表达现在的波形与时间坐标平移后的波形之间的相似程度，表达随机过程两个不同截口处的两个随机变量之间的相关程度。

　　自相关函数与原始信号具有相同的周期(频率)、衰减率(阻尼)动态特性，可用来检测随机过程中是否含有周期成分，或者其信号特征。

　　自相关函数是自功率谱计算的依据，其既包含了一个随机过程间隔时间的相关程度和依赖性，同时也包含了能量大小的信息。不过要注意，相关性再也不是象相关系数那样能够用- 1到1这样的数来表示相关大小了。

　　自相关函数的性质

　　1. 自相关函数是偶函数

　　2. 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数，其周期与过程的周期相同。

　　3. τ =0 时的自相关函数就是均方值

　　4. 如果随机过程不是周期过程，则：

　　τ=0时，ρ=1(随机变量与它自身是完全相关的)

　　τ→∞时，两个随机变量之间将不再相关(前提：不是周期函数)

　　若μx=0，则Rx(τ→∞)→0

　　5. 自相关函数是一个有界函数

　　一般τ 越大，则两时刻的随机变量 X(t1) 和 X(t1+ τ) ) 之间的相关性愈差。

　　τ增大 ，Rx(τ) ) 增大 。

　　自相关函数 Rx(τ) 描述“平均功率”随时差 τ 的变化→“平均功率”的时间结构。

　　功率谱密度Sx(f) ：描述“平均功率”在频域(谱域)的分布 → 频率结构。

　　二者在不同的域(时域或频域)反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。

　　来源：声振之家公众号节选自百度文库《随机振动——功率谱密度函数》PPT讲义