利用Matlab求解不同类型的偏微分方程

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　　在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。

　　下面的几个简单例子，将为大家介绍如何利用Matlab中的PDE工具箱进行偏微分方程的求解!

　　抛物线型

　　受热金属块的热传导问题：

　　一块受热的有矩形裂纹的金属块。金属块的左侧被加热到100℃，右侧热量则以恒定速率降低到周围空气的温度，所有其他边界都是独立的，于是边界条件为：

　　初始温度为0℃。指定起始时间为0，研究5s的热扩散问题。

　　求解结果如下：

　　具体步骤：
　　1、建模。先画一个起点为(-0.5,-0.8)，终点为(0.5,0.8)的矩形，再建另一个矩形，起点(-0.05,-0.4)，终点(0.05,0.4)，然后在设置公式中输入R1-R2;

　　2、设置边界条件;

　　3、PDE中设置参数，d=1,c=1,a=0,f=0;

　　4、初始化网格并细化一次;

　　5、在Solve Parameter中，设置u0=0，时间为[0:0.5:5]，然后求解。

　　注意到金属块的温度升高很快，可试着改变时间列表的表达式为logspace(-2,0.5,20)以便观察。

　　双曲线型

　　方形薄膜横向波动问题(波动方程)：

　　薄膜左侧和右侧固定(u=0)，上端和下端自由：

　　满足边界条件的初值为：

　　求解结果如下：

　　具体步骤：
　　1、建模，画出起点(-1,-1)，终点(1,1)的矩形;

　　2、确定边界条件;

　　3、PDE Specification对话框中选择双曲线型，参数设为c=1,a=0,f=0,d=1;

　　4、初始化网格，并细化一次;

　　5、在Solve Parameters对话框的时间中输入linspace(0,5,31)，u的初值为atan(cos(pi/2*x))，一次偏导的初值为3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y))，然后求解。

　　本征值型

　　L形薄膜的特征值和特征函数：

　　计算所有特征值<100的特征模式，边界上为u=0。

　　结果中的两种模态如下：

　　具体步骤：
　　1、建模，如上图;

　　2、边界条件使用默认即可;

　　3、初始化网格并细化两次;

　　4、PDE对话框中选择Eigenmodes，参数使用默认值c=1,a=0,d=1;

　　5、在Solve Parameter对话框中，输入特征值搜索范围，使用默认值即可[0 100]，然后求解。

　　非线性问题

　　单位圆盘的最小表面问题：

　　计算域为单位圆盘，边界条件为

　　本问题为非线性问题，不能用常规的椭圆型方程求解器进行求解，而需要使用非线性求解器pdenonlin。

　　结果如下：

　　具体步骤：
　　1、画出单位圆;

　　2、选择所有边界，在Boundary Condition对话框中，设置r为x.^2，即定义边界条件Dirichlet条件u=x^2;

　　3、然后在PDE Specification对话框中，选择椭圆型方程，在c中输入1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2);

　　4、初始化网格并细化一次;

　　5、求解前，选择Solve菜单中的Parameters选项，选择Use nonlinear solver选项，将容限参数设为0.001，然后求解。

　　来源：新浪了凡春秋的博客