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[稳定性与分岔] 如何区分超临界Hopf分岔和亚临界Hopf分岔?

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发表于 2017-11-28 14:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  假定一个Hopf分岔发生,如何判断它是超临界的还是亚临界的呢?通过线性化的方法是不能判断的,因为在这两种情况下,一对特征值都是从左边移到右边。

  对于Hopf分岔是超临界还是亚临界的判断,大家首先想到的是计算第一李雅普诺夫系数,当第一李氏系数小于零时,该Hopf分岔是超临界的;当第一李氏系数大于零时,该Hopf分岔是亚临界的。但该方法实行起来比较麻烦且容易出错,大家如果有兴趣研究该方法,可以参考Yuri A. Kuznetsov的《Elements of Applied Bifurcation Theory, Second Edition》一书,书中对该方法进行了详细的说明。

  另一种区分方法是通过计算机数值模拟,若在不动点失稳后,马上出现一个极限环,如果随参数反向变化时,极限环的振幅收缩回零,那么这个Hopf分岔就是超临界的,否则,就可能是亚临界的,在这种情况下,最近的吸引子可能离不动点很远,而且随参数反向变化时,系统会出现滞后现象。对于数值模拟结果,在图像上最显著的区别是:当参数变化,从稳定的平衡点到稳定的极限环的就是超临界Hopf分岔;当参数变化,从不稳定极限环到稳定的平衡点就是亚临界Hopf分岔。当然,计算机模拟结果不等同于证明,因此,在做任何确定性的结论之前,都需要对数值结果进行检验。

  最后,还应注意退化Hopf分岔。对于一个有阻尼钟摆系统:
1.png
  当阻尼参数μ从正值变为负值时,在原点的不动点从稳定变为不稳定的螺线。但当时,由于在分岔的另一侧没有极限环,因此不存在一个真正的Hopf分岔。
2.png
  图1 超临界Hopf分岔过程

3.png
  图2 亚临界Hopf分岔

  来源:漫步力学(ID:Walking-mechanics)
  作者:马新东 天津大学

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