数学里也能耍流氓

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　　数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，就用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。

　　逻辑中的那些流氓

　　耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗?令人难以置信的是，这样的命题真的存在。

　　“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。

　　你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗?没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论(Liar paradox)到罗素悖论(Russell's paradox)，各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。

　　欧拉的流氓证明法

　　在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉(Euler)的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：

　　这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

　　最经典的“无字证明”

　　一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。

　　1989 年的《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分)，证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

　　文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

　　严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》(Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection)一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。

　　《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面

　　旋轮线的面积

　　旋轮线。图片来源：Wikipedia

　　车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略(Galileo Galilei，1564-1642)发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢?

　　他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

　　在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点(generalized Fermat point)问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题(Steiner tree problem)也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

　　原文链接：http://www.guokr.com/article/7937/

　　转载自数学中国，原文来自果壳
　　作者：matrix67