混沌和非线性：线性系统与非线性系统的五大不同之处

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　　上世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。几十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。

　　混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。

　　“线性系统”是我们熟知的。如函数就是一个最简单的线性函数，此函数在(x,y)平面中的图象是一条直线，函数y=f(x)对自变量x的依赖关系是“一次”多项式。但如果函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就象抛物线函数f(x)=ax2+bx (其中ax2项是非线性项)，那么这个函数所描述的系统就是“非线性系统”。

　　可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系，而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。

　　所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。非线性要比线性系统复杂得多，“线性系统”与“非线性系统”的不同之处有以下几个方面。

　　· 第一：线性是简单的比例关系，而非线性是对这种简单关系的偏离。

　　· 第二：线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则是相互作用。


　　· 第三：对于理解混沌动力学有极为重要意义的一条：线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。


　　· 第四：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能!


　　· 第五：非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然，这是两者最本质的区别。

　　可以用一个不太准确的例子来说明这种现象——非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度(可以是各个方向的)的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去;而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。

　　在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡;在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点(鞍点)和椭圆不动点。正是非线性系统的这种特有的对初值的敏感性，使得我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。

　　所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角;甚至人们一遇到非线性系统或发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或加以舍弃，使之“线性化”。

　　为了能够对错综复杂的非线性系统进行研究，我们需要一些新的方法和思维方式。目前，非线性动力学已从经典的以摄动法和渐近分析的方法为基础的弱非线性、弱耦合系统的研究阶段，进入到近代的更深入地研究系统的复杂行为的阶段。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。

　　对有限维系统来说，研究的中心问题是分岔和混沌。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。混沌理论(chaos theory)作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。

　　混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命。

　　本文摘录自西南大学物理科学与技术学院周丽群撰写的《混沌学研究现状与展望》一文。