结构工程师和骨科医生的产儿——沃尔夫定律

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　　恩格斯在《自然辩证法》中说：“数学的应用：在固体力学中是绝对的，在气体力学中已经比较困难了，在物理学中多半是尝试性的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零。”

　　恩格斯的这本书是写于1873至1886年之间的。他所说的“固体力学”实际上应当指的是刚体和质点力学。在他的时代按照通常的理解，连续介质力学，包括流体力学和现今所称的固体力学，是属于物理的领域，当时流体力学的纳维--斯托克斯方程刚提出不久，弹性力学也没有太丰富的内容，所以恩格斯认为“在物理学中多半是尝试性的”。

　　在生物学中，当时数学的应用虽然比起力学来说要少，但也并不就是零。孟德尔宣读自己关于豌豆遗传实验的统计结果的时间是1865年。伽利略1638年出版的《关于两门新科学的对话》中已经用相当准确的语言论证了：“身体愈小，它的相对的强度就愈大。

　　因此一只小狗也许能够在它的背上携带和它一样大的两只或三只小狗，但是我相信一匹马甚至驮不起和它大小一样的一匹马。”更不必说丹尼尔·伯努利在1738年出版的《流体动力学》所阐述的精密流体力学中的第一个普遍原理，伯努利定律，就是从研究血液的流动和血压的关系中得到的。

　　而1840年泊萧叶发表的《流体通过细管运动的实验研究》，论文说明在圆形管道中流体的流速是按照半径的抛物线规律分布的，这是管道黏性流体力学的第一个准确解，也是从仔细观察血管中血液的流动中得到的。而后面这两篇著作，既是生理学的经典著作，也是力学的经典著作。这些成果都是发表在恩格斯自然辩证法发表之前的。

　　力学是和数学结伴而生并且携手成长和发展起来的学科。尽管从19世纪中叶，大约就是从恩格斯写《自然辩证法》的那个时代起，在哲学界，就不断兴起对自然科学中的机械论和还原论的讨伐，并且为力学的发展划定了一定的范围，力学的研究者不可越雷池一步。但是，用数学力学的方法研究天体、研究化学反应、研究地质、研究气象和天气预报，乃至研究生物，都在不断发展并且不断取得辉煌的成果，历史的发展表明力学的研究是在不断扩大自己的范围，从未受那些批判和限制的影响。

　　我们在这里要介绍的是，在19世纪后半叶逐渐明朗起来的关于生物学和力学的密切关系，也就是生物力学发展比较早期的一个重要定律的形成过程。这就是以沃尔夫命名的沃尔夫定律。沃尔夫定律指的是：骨在需要的地方就生长，在不需要的地方就吸收。即骨的生长、吸收、重建都与骨的受力状态有关。是19 世纪德国的外科医生朱利叶斯￠沃尔夫(Julius Wolf，1836--1902)的重大发现。 后来被称为沃尔夫定律。

　　1、两位隔行名家的交往
　　俗话说“隔行如隔山”。是说，不同行的人之间很少交往。我们这里却说的是两位不同行的名家的交往。他们是生理和解剖学家迈尔(Georg Her-mann von Meyer，1815--1892，图1)与结构力学家和土木工程师库耳曼(CarlCulmann， 1821--1881，图2)。他们2人都出生在当时的德国，后来都到瑞士的苏黎世当教授。迈尔是在苏黎世大学的解剖学院教学，后来当上了医学院的院长。而库耳曼从1855年成为瑞士工学院(SwissFederal Institute of Techno-logy，ZÄurich) 工程科学的主持人。

　　图1 迈尔像

　　图2 库耳曼像

　　苏黎世有一个自然科学协会(Society for NaturalScience，ZÄurich)，这两位于1866年都参加了这个协会。从此交往便多起来，并且相互产生了很深的影响。

　　库耳曼在1866年出版了一本重要著作《Graphical Statics》(图解静力学)，这是一本大学教科书，书中根据他以往的学习经验和独立研究得到了关于用图3所示的方法来计算结构的受力分析。特别是，他发展了一套分析结构中主应力轨道的方法，用来揭示应力在固体内传递的过程。图3就是他解释悬臂梁的主应力轨道的一幅插图。

　　图3 库耳曼关于悬臂梁的主应力轨线

　　瑞士工学院成立于1854年，库耳曼是该校第1个土木工程方面的教授。他被誉为工程中图形法的先驱，影响了整个一代工程师。他的杰出学生中有莫尔(Christian Otto Mohr，1835--1918)，以提出材料力学中莫尔圆和改进求解超静定结构的力法而著名，有柯什林(Maurice Koechlin，1856--1946)，他受雇于埃菲尔公司部，以协助埃菲尔进行巴黎埃菲尔铁塔的结构设计而出名，在设计中使用了由库耳曼总结的图解法。

　　1867年迈尔发表了一篇很重要的论文《海绵状结构》(Architectur derSpongiosa)，他发现骨头的微细承力部分是一种海绵状的结构(图4)。论文说不同的骨骼乃至同一骨骼的不同部位的结构是有区别的。

　　图4 迈尔论文的插图

　　文中他强调与库耳曼讨论对于他得到这些结果的作用。他描述当他表达人体大趾和后跟形成的脚拱的骨小梁结构时，库耳曼建议图样应当是按照由于外载而产生的主应力轨道来分布的。迈尔和库耳曼对人的大腿骨的上端的骨小梁结构与一个弯曲的、起重机样的、无回转的实体的单腿受力条件下的大腿模型由数学计算得到的主应力轨道进行了对比。后面的这种假想的结构，人们称之为库耳曼起重机，后来有人真的按照他提供的主应力轨道做出了一架实际的起重机。迈尔说，除了外力之外，还有一些因素对骨骼有影响，如截面的分布、肌肉和韧带的机械影响，都能够解释和修正骨小梁系统的分布。

　　其实，迈尔在与库耳曼相遇之前，1861年出版过一本通俗小册子《为什么鞋子会夹脚》(Why the Shoe Pinches)，在迈尔的著作和论文中经常是引用结构和力学的概念来处理问题。这本书是从脚的解剖以及行走受力的角度来讨论舒适的鞋子的式样。并且讨论了由于鞋子不合适导致的脚变形，诸如拇趾外翻等毛病。这其中就有一种朴素的力学方面的思考。

　　在与库耳曼交流后，迈尔的解剖学就进一步和力学知识相结合，达到了一个新的高度。1883年他又出版了一本通俗小册子《语言的器官》(The Organ of Speech)，书中对语言的发声和共鸣器官进行了解剖学上的仔细讨论。他在序言中说：“这本书将激起所有的受过教育的人的兴趣，特别是引起那些从事语言学研究以及全部音乐家的兴趣。”

　　库耳曼则从交流中获得由解剖学带来的灵感，把它用于结构设计。他认为骨骼上的每一个小的单元格都不会是混乱无序的，它们都分别承担总体结构所要它承担的一块砖石的作用。他的学生柯什林在设计埃菲尔铁塔结构时，在铁塔基部的桁架构造上就是按照库耳曼起重机的主应力轨迹来布置桁杆的。这被后人引述为仿生学最著名的案例。即开始了人类在工程建设中自觉地模仿生物的器官和结构的某种功能，作为仿生学的开端。

　　2、沃尔夫的工作
　　迈尔1867年的论文发表后，并没有引起多少人的注意。这可能一方面是由于迈尔没有进一步给出通俗的解释，另一方面是由于当时的生理学和解剖学的学者缺少力学知识。不过他的结果却引起了一位年轻的外科医生的注意。他就是沃尔夫(图5)。

　　图5 沃尔夫像

　　在1869年沃尔夫见到了迈尔，向他请教了一些问题，并且获赠了迈尔的论文。 此外，他还拜访了一些有名的力学家，如库耳曼和他的学生莫尔。1870年沃尔夫发表了一篇论文《骨头的内部结构和对于骨头转换的重要性》。

　　论文继承了迈尔的分析方法。沿着迈尔的论文做进一步的探讨。他首先说：迈尔的工作“并没有引起足够的重视。而我看来，它也许是在生理学中迄今最异乎寻常的发现。因而这是一个恰当的时机去唤起对迈尔的发现的重视并沿着它进行研究，这也许是我的责任。”

　　沃尔夫后来集中精力于人体大腿骨上端的力学与内部结构的研究。他说：“这是由于我异常高的兴趣所在以及去填补迈尔研究的空隙的必要。”沃尔夫的这篇文章篇幅有六十多页，仔细介绍了大腿骨的剖面和内部结构(图6)。他不仅接受了库耳曼关于主应力轨道的概念，而且具体发现和进一步研究了沿主应力轨道分布的骨内部结构。

　　图6 沃尔夫给出的大腿骨上端的剖图

　　他还发现，在腿骨中部的外层骨质比较密实的部分，愈到顶端愈变薄，最后完全消失。沃尔夫认为，在腿骨的中部，其承力作用比较接近一根梁，所以比较密实的骨质分布在骨头的周边。而接近腿骨的端部，受力比较复杂，并不只是简单地受拉伸和压缩。还会有剪应力。而且由于人的姿势的变动，受拉伸和压缩部位和方向也在变动，所以骨头的构造就由分散的内部骨小梁来承受。

　　他在论文结束时阐述了这样的观点，当在正常的受力条件下骨质切除后，还会恢复原来的骨结构，对于一个佝偻病人的骨头，当恢复正常时，他的骨质结构也会恢复正常。看来当骨头不再受弯曲时，它的骨小梁就会消失。遵照这种想法，他开展了整形外科的手术，成为德国较早的整形外科医生，并且使整形外科成为外科的一个新的门类。

　　经过二十多年的潜心研究和临床观察，到1892年沃尔夫发表了他最重要的著作《骨转换的定律》(Das Gesetz der Transformation der Knochen，August Hirschwald，Berlin)。

　　在这本书中沃尔夫阐述了骨骼生长和所受应力的关系。他说：“人或者动物的骨骼受应力的影响，负荷增加骨增粗，负荷减少骨变细。骨折再塑过程的变化规律：骨折后如有移位，在凹侧将有明显骨痂形成，其内部骨小梁将沿着压应力的传递方向排列，而在凸侧将有骨的吸收。骨力求达到一种最佳结构，即骨骼的形态与物质受个体活动水平的调控，使之足够承担力学负载，但并不增加代谢转运的负担。”

　　图7和图8取自沃尔夫的著作。人的股骨，在人体的各种骨骼中，所受的工况比较简单，所以沃尔夫主要以它为对象进行分析。结论表明骨密度和所受应力是密切相关的。沃尔夫还说：“骨骼重新形成的规律是一种数学定律，遵照它，骨骼的内部结构和外形的改变是骨骼所受应力变化的结果。”沃尔夫的这些论述，被后人概括为沃尔夫定律。

　　图7 沃尔夫给出的大腿骨主应力轨道和实际骨小梁分布图及其结构比拟

　　图8

　　沃尔夫的著作，在很长的时间里很少有人注意。直到1989年才被翻译为英文。 成为生物力学的经典文献。近年来的研究愈来愈证实他的结论的正确。例如宇航员在失重状态下，腿和脊椎内骨质损失速度为每月2.7%，髋骨内骨质损失速度缓慢些，为每月1.7%。在太空中待了3个月后，一些宇航员可能会出现肌肉萎缩，甚至会失去多达30%的肌肉块。有的人回到地球上后还会出现骨折的严重问题。

　　近年来有人把老年运动员和年龄相仿的一般老年人的腰椎骨的骨密度进行比较，发现老年长跑运动员的骨密度非常显著地高于一般老年人的骨密度，这说明运动不但使人骨增粗、皮质骨加厚，而且也使骨密度增高、关节活动灵活，能够承受较大负荷。对老年人来说，尤其是绝经后妇女可预防和少患骨质疏松症，减少老年人骨折发生率。

　　将沃尔夫定律用于骨折治疗上，以往对骨折的病人，主张病人减少活动，主张静止。由于有沃尔夫的研究，说明当骨骼承受载荷时生长比较快。所以现今主张骨折病人尽早活动。
　　与此相关联的，有人将沃尔夫定律拓广，得到人体或动物的肌肉和软组织也是在承受外力的条件下会生长得强壮。

　　沃尔夫定律，是把力学与生命现象相联系的一个定律。尽管它的精确性没有像数学、物理和力学中许多定律那样精密。不过，由于生命现象的复杂性，能够有这样一个定性的定律，已经是经过许多年的观察和实验的总结。直到近年来它的进一步精确化和定量化仍然是人们研究所关心的热门问题。这类研究内容也成为一门新的学科——生物力学的主要内容。

　　沃尔夫定律的总结是和不同行业的学者相处和交流密切相关的。在现今多学科交叉和新的交叉学科不断涌现的情况下，提倡不同学科的学者交流和合作是很有意义的。科学不仅要师徒传承，更需要同行和不同行之间切磋才能发展。

　　本文转载自中国力学学会科普网(lxkp.cstam.org.cn)，原文来源于《力学与实践》，撰稿人武际可。