负频率的内涵：一位网友对该问题的理解和解释

weixin

　　学信号与系统的时候，看到傅立叶变换，得到的频谱有负频率。负频率是什么呢?当时没有想通，频率怎么会有负的呢?看了一些参考书，都是说这不过是数学上的问题，没有什么实际物理意义的，但是不愿接受这个说法。

　　时不时想想这个问题，终于清楚了。这几天研究m语言，不知为何突然又想起这个尘封已久问题，觉得应该把对于负频率的解释放在网上，利用Matlab画图进行解释，希望能对大家有所帮助。

　　频率怎么会有负的?很奇怪吧，其实负频率是个很好理解的概念，为了说明这个问题，我描述一下负速度这个概念，我们知道在定义了正方向后，与正方向相反的方向运动的物体，就可以说是具有负速度，这是显而易见的。与速度类似的一个概念是角速度，如果我们把逆时针旋转定义为正的角速度，则顺时针旋转就具有负角速度，这也是显而易见的。在某种情况下，可以将角速度和角频率等同起来，也就是小欧米伽ω。

　　傅立叶变换可视为将一个信号分解为无数个exp(jωt)分量的和，上文说了，对于正的角频率，可视为逆时针旋转，则负的角频率就是顺时针旋转。我们利用复平面和垂直于复平面的时间轴作为一个三维空间，则exp(jωt)在这个空间中呈现出螺旋线的形状，类似弹簧。

　　对于正频率，即ω>0，俯视复平面时这根“弹簧”是逆时针的，对于负频率，即ω<0，这根“弹簧”是顺时针的。为了说明问题方便，我们这里以余弦函数为例，对于cos(ω0t)来说，其频谱的表达式是：π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]，在正负ω0处有两个冲击，正ω0处的冲击对应的exp()分量为角频率是ω0(逆时针旋转)，幅度为π/2π=0.5，初相为0，即与实轴的夹角为0;负ω0处的冲击对应的exp()分量是角频率为-ω0(即旋转速度为ω0，但方向是顺时针)，幅度为π/2π=0.5，初相为0，即与实轴夹角为0。

　　用Matlab绘制这两个分量，代码和图形如下，x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入余弦函数假设为ω0=2π，幅度范围是-1~+1：

　　图形：

　　左边是正频率对应的exp(jω0t)分量，可以看出是逆时针;右边是负频率对应的exp(-jω0t)分量，顺时针。让我们再看看这两根“弹簧”在由时间轴和实轴构成的平面上的投影：

　　注意竖直的是时间轴，而水平的是信号实部的幅度，这两根旋转方向相反的“弹簧”在实轴和时间轴构成的平面上的投影具有相同的形状，就是cos函数的形状，只不过幅度只有原余弦信号的一半(在将两个分量合成之后，我们就会发现幅度=信号的幅度了)。

　　再看看两根“弹簧”在由虚轴和时间轴构成的平面上的投影，注意竖直的是时间轴，水平的是信号虚部的幅度：

　　两个投影之间差了一个负号。如果我们将这两根“弹簧合成”，由于它们在实轴上的一致，所以实部会增大一倍，它们在虚轴上的投影相差一个负号，所以会抵消为0，合成图如下：

　　显然这个图形只在由实轴和时间轴构成的平面中具有幅度了，让我们看看实轴和时间轴构成的平面上信号的样子，注意竖直方向是时间轴，水平方向是信号实部的幅度：

　　还原了我们的余弦信号。

　　这下我们知道负频率是什么了吧，一般而言，进行变换的信号一般都是实信号，但是傅立叶变换试图用无数个exp(jωt)来合成，而exp(jωt)是复平面和时间轴构成的空间中的螺旋线，它有虚部。只有将某一频率的分量，分解为一正一负两个旋转方向相反的螺旋线，才能使分量的合成后保留实部，抵消虚部，还原原来的实信号，也就是说，如果没有负频率的分量，那么我们无法用exp(jωt)来合成一个实信号。

　　为了充分地说明问题，下面再以sin函数为例重复上面的过程：

　　sin(ω0t)的频谱是-jπδ(ω-ω0)+jπδ(ω+ω0)，它有两个分量，一个对应频率为ω0，在t=0时刻其值为-j，也就是初相为-90度(与实轴夹角为负90度)，幅度为π/2π=0.5;另一个对应频率为-ω0，在t=0时刻其值为j，即初相为90度(与实轴夹角为90度)，幅度为0.5。

　　下面是m代码(x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入正弦函数假设为ω0=2π，幅度范围是-1~+1)：

　　两个分量在由复平面和垂直于复平面的时间轴构成的空间中的图形，左边为正频率的，右边为负频率的：

　　它们在由实轴和时间轴构成的平面中的投影(注意竖直的是时间轴，水平的是信号的实部)：

       再看看它们在由虚轴和时间轴构成的平面中的投影(注意竖直的是时间轴，水平的是信号的虚部)：

　　两个分量合成后的空间形状：

　　由时间轴和信号实轴构成的平面中的图形(竖直的为时间轴，水平的为实轴)：

　　最后说两句，在Matlab中，使用plot3函数可以很方便地绘制由参数方程确定的空间曲线的形状。


　　本文来源于新浪考研数学笔记的博客，博主系武汉大学电子信息学院博士。