功率谱密度(功率信号)和能量谱密度(能量信号)

weixin

　　1、能量信号和功率信号

　　根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

　　能量信号：如各类瞬变信号
　　在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。显然，电压信号加在单位电阻(R=1时)上的瞬时功率为：

　　瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当x(t)满足：

　　则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

　　我们定义信号f(t)的能量(作用归一化处理)：由电压f(t)(或者电流在1Ω电阻上消耗的能量)：

　　注释：

　　功率信号：如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

　　若x(t)在区间(-∞，∞)的能量无限，不满足能量有限信号条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：

　　我们定义信号f(t)的平均功率，为电压f(t)在1Ω电阻上消耗的平均功率(简称功率)：

       2、频谱和频谱密度

　　频谱密度：设一个能量信号为s(t)，则它的频谱密度S(w)可以由付氏变换求得。

　　能量信号的频谱密度S(f)和功率信号C(jnw)(比如一个周期信号)的频谱主要区别有：
　　  · S(f)是连续谱，而C(jnw)是离散谱;
　　  · S(f)单位是幅度/频率，而C(jnw)单位是幅度(这里都是指其频谱幅度);
　　  · 能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有df上才有确定的非0振幅。

　　功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

　　以下为推导过程：
　　由周期信号推导非周期信号的频谱(频谱密度)：

　　由上面可以看书，F(jω)是一个谱密度函数，它的实际幅度是F(nΩ)，是个无穷小量，但是F(nΩ)*2π/Ω以无穷小/无穷小得到一个常量，单位是幅度/频率。并且：

　　在频域上积分就是其频谱幅度。同时，周期信号有：

　　其中

　　Cn是以e∧jnΩt为基底的系数。

　　3、功率谱(密度)与能量谱(密度)

　　功率谱：也称功率谱密度(PSD)，单位是功率/Hz。针对功率有限信号的(能量有限信号用能量谱密度)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

　　能量谱：也叫能量谱密度，单位是焦耳/Hz。针对能量有限的信号，能量信号傅里叶变换绝对值的平方就是能量谱(密度)【帕塞瓦尔定理】。

　　功率谱针对能量无限(功率有限)的功率信号，功率信号不满足傅里叶变换的绝对可积的条件，其付里叶变换是不存在的，如正弦函数的付里叶变换是不存在，只有引入了冲激函数才求得其付里叶变换。功率谱不能直接进行傅立叶变换，通常使用短截函数进行截取后，如图：

　　使用时间T进行短截原来的信号，当T->无穷大时：

　　设FT(ω)为fT(t)的傅里叶变换，根据帕塞瓦尔定理，fT(t)的能量ET是：

　　其中能量谱密度G(f)表示为：

　　故平均功率为：

　　其中：(平均)功率谱密度为：

　　这是对模拟信号的时域计算方法，当进行AD采样，变为数字信号后，宜根据下文计算方法求功率谱。

　　4、功率谱计算公式

　　周期图法：它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。

　　自相关法： 根据维纳-辛钦定理，先估计相关函数，再经傅立叶变换得功率谱估计。

　　功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲，所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。

　　能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息;傅里叶变换幅度谱的平方(二次量纲)，又叫能量谱(密度)，它描述了信号能量的频域分布;功率信号的功率谱描述了信号功率随频率的分布特点，也已证明，信号功率谱恰好是其自相关函数的傅氏变换。

　　本文来源于新浪博客LAY1984_XL的博客。

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请问weixin，能量谱密度在什么地方有用？