有限元知识：有关离散的弱形式与强形式的解释

weixin

　　引言
　　说起来自己接触有限元已有一段时间，其实自己对其的理解真是相当的肤浅。今天读到《无单元法理论与应用》一书中有这样一句“微分方程式的离散方案主要有强形式和弱形式，在强形式中目前应用较多的是配点法(包括直接配点法和移动配点法)，弱形式中主要有伽辽金发、局部边界积分方程和加权最小二乘法等。”有了想了解强形式和弱形式的一般概念的想法。查了一下资料。

　　弱形式一般是指对强形式方程(即微分方程)的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。

　　所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。比如不连续点的跳跃等等。将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。

　　一个满足强形式微分方程的解，一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。

　　弱形式一般是指对强形式方程(即微分方程)的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。

　　弱形式和完全更新和任意是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分(积分)方程即纯数学理论而言的，完全更新和'任意是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉-拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术7G,在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性。

　　近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程(绝大多数情况)是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法(求解固体力学问题)的理论基础。也就是说对于固体力学问题，如果以前这样“强形式转弱形式”是有限元方法的核心理论的话，那么现在有限元方法的核心理论是固体力学的变分原理。至于争议，则是由于目前对于“变分”理论上的一些问题尚未完全解决。

　　但对于如流体力学等领域的微分方程，其算子往往不是线性的，很难找到一个与之等效的变分原理，因此有限元方法在求解这些领域的方程时存在收敛性问题。

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