陈立群教授对分析力学3部经典著作的评述

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　　在任何学科的发展过程中，通常都会出现若干经典著作，反映当时的学科最新研究成果，并对学科后来的发展有深远影响。分析力学学科也不例外。若以J. L. Lagrange在1788年出版的《Méchanique Analytique》为学科正式诞生的标志，在随后2百多年的学科发展中也有多部经典著作。

　　本文将介绍的这些经典著作中的3部。他们是1904年初版于英国的Whittaker的《分析动力学》、1949年出版于德国的Hamel的《理论力学》和1961年出版于俄国的Lurie的《分析力学》。这些书在近20余年内仍在重印。

　　1、Whittaker的《分析动力学》

　　该书的全名是《质点和刚体的分析动力学教程附三体问题导论(A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies with an Introduction to the Problem of Three Bodies)》。书名冗长，但确切说明了该书的内容。

　　该书不仅是首部用英语写的动力学的专论，更是经典分析力学的集大成制作，具有划时代意义。类似于Rayleigh的《声的理论》、Love的《弹性的数学理论教程》和Lamb的《流体动力学》在相应学科的作用，该书全面总结了分析力学的在当时的几乎全部重要成果。这种包罗万象的风格后来仍有人效仿，如在分析力学领域有Pars所著的《分析动力学教程》。

　　时过境迁，后继者虽然也很出色，但都没有取得Whittaker著作的影响力。虽然该书论述的是分析力学属于古典物理，但是当1925年量子世界成为探索热点时，该书所论述的变换理论恰好是量子力学研究者需要的基础，正像Whittaker的《现代分析教程》为求解量子力学问题的波动力学方法准备好了数学基础。

　　物理学大师Dirac曾回忆就是从该书学到Poisson括号并应用于量子力学。因此人们认为Whittaker在选择主题时具有超乎寻常的预见性。类似的，当1957年苏联卫星上天后，促使人们重新重视经典动力学和天体力学，又发现该书刚体动力学和三体问题等正是他们要研究的主题。就分析力学学科本身而言，该书也有巨大的影响，几乎出现在所有分析力学著作的参考书目上。

　　该书最主要的特色是体现了一流学者的学术品味。作者汇集了有意义和有趣味的结果，以种不蔓不枝简明扼要的方式统一阐述。该书中包含作者新的结果，利用能量积分将完整保守系统的方程降阶，所得到的低阶方程被现在被称为Whittaker方程。

　　该书的历史注记和参考文献也勾画出学科的发展历史，体现了作者对分析力学历史的准确把握。作者的史家眼光，也使他能确切理解现有成果的价值以及对学科发展的作用，从而恰当地纳入他的著作体系。特别值得称道的是，该书除1章外各章都有所谓“杂例”，事实上就是习题。部分习题取自期刊或学校考题。全书共有这样的习题251道。

　　不过，作者完全沿袭Lagrange《分析力学》的传统，“全书没有一张图”，给阅读带来不便。而且该书没有采用矢量而都用坐标表述，与现在的习惯也不相同。

　　2、Hamel的《理论力学》

　　该书的全名是《理论力学：一般力学的统一导论(Theoretische Mechanik. Eine Einheitliche Einfuehrung in die Gesamte Mechanik)》，共796页。1949由Springer-Verlag作为著名的“数学科学基本原理(Die Gurndlehren der mathematischen Wissenschaften)”丛书第57卷出版。

　　该书的内容显然不局限于分析力学，作者的主旨是给质点系的力学和连续体的力学统一论述。该书真正有影响的还是分析力学部分，第4-7章和第9章，特别是第9章，虽然该书以德文写成没有译成其它语言在一定程度上限制了该书的影响。后来出版的多种分析力学著述都把该书列为参考资料，例如后面将介绍的《分析力学》。

　　前节介绍的《分析动力学》是应用数学风格的著作，因此对约束的分析语焉不详。在Lagrange力学的前8章几乎没有用到约束概念，直到变分原理时才简单涉及。该书的特点是给予约束特别是非完整系统系统足够重视，而且首次把非线性非完整约束写入专著。

　　从逻辑基础上，作者在分析约束时明确列出了解除约束原理(作者称为Lagrange释放(Befreiungsprinzip)原理，因为作者认为Lagrange已经使用该原理，虽然没有明确提出)，事实上统一了约束的两种描述，对运动的限制和受周围物体的作用。

　　从技术上，作者提出了所谓中心方程，建立能量和动量以及变分和微分交换关系之间的联系，比较便于推导运动微分方程的各种形式，特别是对于非完整约束系统。这些对分析力学特别是非完整系统的学科发展有深远影响。

　　该书反映了作者对动力学罕见的透彻理解，并且与数学分析工具很好结合。该书包含作者自己对分析力学的贡献，建立了准坐标下受非线性非完整约束系统的运动微分方程，即现在所称的Boltzmann-Hamel方程;还提出了高阶非线性非完整约束的实例。作者在力学公理化方面做过研究。

　　该书完全是用演绎的方式写的，出发点是虚功原理、d’Alembert原理和约束解除原理。该书对基本概念的阐述非常清晰，例如，明确地说明Hamilton原理中的比较弧线一般并非可能路径，从而Hamilton原理通常不是变分原理。当然，这种风格也使得该书某些内容抽象晦涩。

　　该书在分析力学部分也不再遵循“没有一张图”，全书共有161个查图，对内容的表述有所帮助。占全书篇幅1/3的习题及其解答也是该书的突出特色。作者收集了184道题目，其中多数给出了详细解答。

　　3、Lurie的《分析力学》

　　该书俄文版出版于1961年。2002年，A. Belyaev译成英文，书名为《Analytical Mechanics》，共864页，由Spinger-Verlag出版社出版，收入主要出版俄国和东欧学者著作英译本的“工程力学基础”丛书。

　　该书是首部具有工程动力学雏形的专著。正是这一点，使该书有别于前述的Whittaker《分析动力学》或Hamel的《理论力学》，也有别于有汉译本的俄文分析力学著作如甘特马赫《分析力学讲义》或朗道等的《力学》。这是动力学包括分析力学深刻变化的征兆，不仅是应用数学或理论物理的组成部分，也是工程科学的基础。

　　在此基础上，后来为分析日益复杂和高速机械设备，充分利用计算机迅速发展所提供的可能性，多体系统动力学应运而生。动力学建模部分是该书精华所在。遗憾的是，该书没有及时译成英文，多少对该书的学术影响有所局限。此外，该书在当年中国向苏联老大哥学习的大背景下，居然没有汉译本，也多少让人觉得意外。

　　该书的突出特色是重视非完整约束系统。在第一章中就引入了非完整约束的概念。在第7章中推导了带乘子的Lagrange方程和Routh方程，第8章推导了Boltzmann-Hamel方程(作者称为Euler-Lagrange方程)、Appell方程和Chaplygin方程。该书详细地用不同方法讨论了几个典型的非完整系统实例，如在平面上滚动的刚体(圆球和圆环为其特例)，Cardan悬挂，4轮车。其中4轮车因为有8个广义坐标和6个非完整约束，是非完整系统的典型例子。Kane提出他的建模方法时也用了这个例子。

　　该书还包括1957年V. S. Novoselov提成的不能简化为Chetaev类型约束的非线性非完整约束系统。不仅是非完整约束部分，作为应用导向的书，该书其它有意义的实例，如地球旋转的定点运动模型，重陀螺，带转动飞轮的刚体，火箭运动方程、陀螺仪平台，作为可积系统例子的Kepler运动，作为圆轨道摄动的Kepler运动，转动地球引力场中的质点运动，地球卫星绕质心的转动，规则进动的稳定性，两中心吸引场中的圆周运动，悬重链的振动，旋转弹性杆的振动等;此外还有大量的例题但可惜没有习题。

　　与一般分析力学书不同，该书系统地采用了张量微积分工具。该书也不再拘泥分析力学“没有一张图”的特点，全书共有92个插图。此外，该书具有当年苏联著作的典型特点，内容丰富，体系完整，论证严谨，解释充分。

　　以上介绍了几本不同时代不同国度出版的分析力学经典著作。尽管这些著作出版年代久远，但至今仍有参考价值。例如，梅凤翔先生等最近发表的研究工作将Whittaker书中的最后乘子法推广到广义Hamilton系统，以发展相应的积分方法。因此，从事分析力学研究和教学的科学工作者特别是年轻人仍有必要认真学习研究这些经典著作，从中得到启发。

　　还需要说明的是，这类历史上与分析力学相关的经典著作，现在仍有较大参考价值还有P. Appell所著《理性力学教程(Traité de Mécanique rationelle)》(Gauthier-Villars, Paris, 1926)。共有5卷，第2卷为分析力学，国内曾出版过影印版。但笔者不懂法文，无力作介绍。

　　本文相关内容摘录自科学网陈立群教授的博文《分析力学的3部经典著作及其作者》，博文内容原发表于《力学与实践》,2010, 32(5): 113-116。