动力学问题分析：华山论剑之显隐式动力学分析

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　　如若将有限元法处理动力学问题比作武林之华山，以Newmark法居尊的隐式派与以中心差分法为长的显式派近年来各自闭关修行，越发炉火纯青，剑指对方，咄咄逼人，以致势同水火。高手过招难免令各位看官眼花缭乱，且听老夫为你细细道来，自成一言，言多休怪。

　　如今这两派在有限元处理动力学问题的方面已牢牢站稳脚跟，正如北少林，南武当，除此之外谁敢王。

　　典宗

　　武林讲究寻源溯宗，且看二者身出东方还是天外飞仙。

　　在求解动力学问题时，将方程在空间上采用有限元法(或其他方法)进行离散后，变为常微分方程组F=M(u)+C(u)+K(u)。求解这种方程的其中两种方法为，中心差分法和Newmark法。采用中心差分法解决动力学问题被称为显式算法，采用Newmark法解决动力学问题被称为隐式算法。

　　隐式求解咬定[K]*{A}={F}青山不放松，需要求解非线性方程组，通过迭代方法获得近似解。动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题，在上世纪80年代中期以前，人们基本上采用Newmark法进行时间域的积分。在纽曼法中任一时刻的位移、速度、加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解，这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。这就是通常所说的隐式求解法。

　　显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。

　　利器

　　正所谓刀如屠龙，倚天不出，谁与争锋?且看二者利器如何锋芒毕露。

　　洪家铁线拳脚法应也犀利，十二路谭腿双拳亦很给力。二者从概念上来讲其实很泛，都可以进行静力学分析和动力学分析。

　　隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大(以K求逆的代价获得)。能提供更有力的整体逼近，通过反复迭代保证结果精度。

　　对于显式分析，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。不存在收敛问题。当使用集中质量矩阵时，不需要求解线性方程组。

　　硬伤

　　习武之人如修金钟罩者阳气护体，刀剑难损，然一旦被攻入气门，则脆弱不堪。二者各自都有硬伤，且听老夫道来。

　　隐式求解法可能遇到两个问题。一是迭代过程不一定收敛，二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。不考虑惯性和阻尼情况下，隐式需要求解[k] {u}={F}，由于无条件稳定，可以使用大的时间步长。然而，由于材料非线性和几何非线性使得刚度矩阵不断更新，F为体积力、面力和集中载荷的总成矩阵，计算步长受精度限制，对于高度非线性问题(如碰撞、爆炸等)不能保证收敛。且每次迭代都需要求解大型线性方程组，过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。

　　显式求解的缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。因此，时间步长需要划分很细很细。

　　尽管隐式编程相对较难，然而其结果更为准确。当然，如果保证显式解法的小小时间步长，显式结果也十分可信。

　　应用范围

　　虽然佛道一家，毕竟各承衣钵。

　　大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显式求解方法有明显的优越性。

　　为了确定单元内力，两种算法都求解节点加速度，区别在于计算节点加速度的方式。隐式用直接法求解一系列的线性方程组。而显式算法采用集中质量的方法使质量矩阵对角化，这样不需经过迭代即可求解相互独立的多个方程。并且采用中心差分法对时间进行离散化，即假定加速度为常数以求得速度的变化，用这个速度的变化值加上前一个时间段中点的速度来确定当前时间段的中点速度：速度沿时间积分的结果加上此时间段开始时的位移，确定了时间段结束时的位移。 这样，在时间段开始时，提供了满足动力学平衡条件的加速度。

　　知道了加速度，通过对时间的“显式”求解，可以进一步求出速度和位移。所谓的“显式”是指时间段结束时的形态仅取决于此时间段开始时的位移、速度和加速度。为了得到精确的结果，时间增量段必须分得足够小以保证加速度在时间段中近似为常数，一般的分析需要成千上万个时间段。但由于不必同时求解联立方程，每一个增量计算成本较低，大部分的计算机资源消耗在计算确定作用在节点上的单元内力上。

　　使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比。应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比，因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法比隐式方法更加节省计算成本。

　　本文来源于新浪举举的博客，2010年10月13日。