深度解析小波变换与傅里叶变换的区别和联系

weixin

　　如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念)，是否能学好小波?答案是否定的。如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换?答案依然是否定的。但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作(编程)小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换?答案是肯定的。

　　一、基的概念
　　两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基(正弦或余弦)，与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。(时频能量守恒)。

　　二、离散化的处理
　　傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。

　　第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT)，频谱被周期化;第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数(DFS)，时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。

　　借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。


　　也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。


　　为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢?b取多少才合适呢?于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离(采样间隔)，应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似，记不清了)。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。

　　当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?，所以只是近似二分的)。这时的小波变换，称为离散二进小波变换。第三步，引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。

　　满足稳定性条件后，也就是一个小波框架产生了可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件，就是?<A<=B<+INF 并且小波函数线性无关，此时小波基称为Reisz基。并且，如果变换后能量守恒，(A="B=1)，并且线性无关，这就是标准离散正交小波基。

　　这种分解也就是大家熟知的直和分解。若A和B不相等，且相差很大，我们就说小波不是紧框架的，所以双正交，对偶小波也就自然而然引进来了。若A和B不相等，但又相差不大，这时稳定重构也是可能的，这时成为几乎紧框架的。(好像说这样小波有橹棒性特点，也就是粗略分解，但却精确重构。)经过3步，我们最终地得到了一个二进离散化稳定的小波变换，这正是我们要的结果。

　　三、快速算法
　　如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换(FFT)。

　　这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。也就是算法的来源。

　　我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。这里要注意，实际我们在玩DSP。因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。

　　快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这里的A是循环矩阵。但不幸的是A仍然是满阵。

　　小波的快速算法。MALLAT算法，是一个令人振奋的东西。它实质给了多分辨率分析(多尺度分析)一个变得一发而不可收的理由。它实质上，讲了这样一个意思。也就是，我在一个较高的尺度(细节)上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果(小波系数)，我若是想得到比它尺度低的小波系数(概貌)，我不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是，所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但这仍不是我们想要的。还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。因此，我们开始简化，并扩展此理论。

　　第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。(这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异)。第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。这和DSP何尝不一样呢?它的物理意义，就是把信号作周期延拖(边界处理的一种)，使之在整个实轴上扩展。这种算法令我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。正变换Y=AX;反变换 X=A’Y;一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。这里I是单位矩阵。

　　那怎样操作才是最快的呢?我们来分析A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。为什么，因为你做了2抽取。所以我们可以，实现小波变换用快速傅里叶变换。这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.^2)下降到O(NlogN)。

　　但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。所以，快速傅里叶是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波变换是O(N)复杂度的。这是它的优势。但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。第二个方法，因子化。因子化，是一个杰出的贡献。它在原有的O(N)的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度降低一半。但量级仍然是O(N)。

　　四、时频分析
　　对于平稳信号，傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时间段的特点。在频率上，是点频的。而对于非平稳信号，它就无能为力了。而小波恰好对此派上用场。小波是反映信号，某个时间段的特点的。在频域上，是某个频率段的表现。但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书，这里我不再赘述。还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最近我也在思考。

　　五、压缩、消噪、特征提取
　　傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。它的简化版本就是DCT变换。而小波包的提出，也就使DCT有些相形见拙。首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。其次，一个自适应树分解。再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包是从频域上实现的。从时域上，我们也可采用类似的分裂和并算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。记住，压缩是小波最大的优势。

　　消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。两者各有优缺点。而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。这点上，小波的优势并不是很明显。

　　特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题也是很多。首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。这点，我没任何体会，希望大家多讨论吧。

　　这里，我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确：
　　  1、你要对小波概念有着明确的理解。对诸如多分辨率，时频窗口与分析，框架，消失矩，模极大值，LIPSCHITZ指数等有着清醒地认识。

　　  2、你必须考虑小波在此问题上的可行性，这点尤为重要，小波不是万能的。

　　  3、你必须考虑什么样的小波是合适的。

　　  4、你必须给出一个评价的标准。(熵准则，模极小则等)

　　  5、你必须确定一种算法，是用小波还是小波包或是类小波。(MALLET，直接求内积，多孔，模极大值重构)。

　　  6、最后，你要把你做的效果还其他人的作比较，看看有没有优势。

　　  7、自己编写几乎所有程序，不依靠TOOLBOX里任何的函数。(一些常用的除外)。

　　这样相信你会获益不少。

　　我个人的理解：
　　小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：

　　1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去;小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j和V-j所构成的空间上去的。

　　2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt)，cos(ωt)，exp(jωt)，具有唯一性;小波分析用到的函数(即小波函数)则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题(也是小波分析研究的一个热点问题)，目前往往是通过经验或不断地试验(对结果进行对照分析)来选择小波函数。

　　3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。

　　4、在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中w的值越小。

　　5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ(因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值)。在小波变换中，变换系数Wf(a，b)主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ)片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。

　　6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf与中心频率f无关;相反小波变换带通滤波器的带宽Δf则正比于中心频率f。


　　本文转载自网易博客“明月 清风 和俺”，原文来源于百度HI，但由于链接已经关闭，所以无法标识，还望见谅。