流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述及声波方程

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　　摘要：拉格朗日描述与欧拉描述乃描述流体运动的两种体系。两种描述对于线性声学几无分别，但对非线性声学则不然。人们或惯用欧拉描述分析求解声学问题，但对有些非线性问题若采用拉格朗日描述更直接了当，更易求得解析解。本文概论概述两种描述，探讨拉格朗日描述下流体运动的基本方程，最后给出一维的非线性声波方程。

　　何谓拉格朗日描述和欧拉描述?
　　欲描述流体的运动，既可选择拉格朗日坐标体系，也可采用欧拉坐标体系。拉格朗日描述取初始时刻(如时间t=0)流体质点的三维位置矢量R=(a,b,c)作为空间变量，并标记该流体质点。随着流体的运动，t时刻的质点运动至新的三维空间位置r=(x,y,z)。显然，r与R具有函数关系：r=r(R,t)，或用笛卡尔坐标分量表示

　　该关系其实给出了流体质点在空间的运动轨迹。由此可求出质点运动的速度——流速v。

　　显然，不同的质点具有不同的速度，即流速v不但是时间的函数，也是初始位置R的函数。不仅如此，任何描述流体状态的物理量(例如密度ρ)均属流体质点所“携带”的。不同质点的运动状态当然不同;故流体的任何物理量不仅是时间t的函数，也是初始坐标矢量R的函数，例如，密度ρ=ρ(R,t)。此种以流体质点初始位置R和时间t描述流体运动的方法，即所谓的拉格朗日描述，其中R=(a, b, c)是拉格朗日坐标。其实，拉格朗日坐标相当于质点的“标签”。所以，拉格朗日描述记录了质点的时间演化，既可追溯质点的既往，也可预测质点的未来。

　　与一般的流动不同，声学问题中的质点运动是围绕初始位置R=(a, b, c)的质点振动。记振动位移矢量为δr=(ξ,η,ζ)，则r=R+δr，或者，

　　当然，位移δr也是初始位置R=(a, b, c)和时间t的函数：δr=δr(R, t)，或用分量表示：

　　与拉格朗日描述不同，欧拉描述乃现实主义的描述手法。它仅关注“现在”——t 时刻处于空间r=(x,y,z)位置的质点。在此描述下，所有物理量皆表为空间位置坐标r(欧拉坐标)和时间t的函数，例如密度ρ=ρ(r,t)。所以，欧拉描述所描绘的是流场在不同时刻的瞬时空间分布，其空间坐标r=(x,y,z)是纯数学的独立变量。

　　两种描述的关系
　　虽然如此，t 时刻位于空间位置r=(x,y,z)的流体质点并非“空穴来风”，而是从别处迁移而来。运动规律r=r(R,t)或公式(1)可对质点“追根溯源”：原则上，根据当前的空间位置r反推初始位置R。据此，欧拉描述和拉格朗日描述可以相互转换。为明确起见，特以上标(L)和(E)分别标记拉格朗日和欧拉体系下的物理量，例如密度ρ(L)(R,t)和ρ(E)(r,t)。据上论述，

　　诸如声波这般流体运动，位移δr的量值一般很小(即，δr的范数||δr||<<1)，因此可以对上式右端作泰勒展开：

　　式中，欧拉空间的梯度算符：

　　可见，已知位移δr=(ξ,η,ζ)，就可从欧拉体系的物理量求得拉格朗日体系的对应量。反之，若函数r=r(R,t)连续可逆，可求得逆函数R=R(r,t)，从而可把拉格朗日体系的物理量转换为欧拉体系的【注1】。特别是，对于小位移振动的情形，有如下展开

　　式中，拉格朗日空间的梯度算符

　　可见，拉格朗日描述的物理量ρ(L)(R,t)与欧拉描述的ρ(E)(r,t)仅相差量级O(||δr||)。
　　数学上，函数关系r=r(R,t)或公式(1)所表达的是以时间t为参变数的空间映射：

　　矢量r在拉格朗日空间的梯度：

　　是一个“矢量的矢量”——张量，刻画了映射的性质，式中I是单位张量。J也可用等价的雅可比矩阵形式表示：

　　式中的下标表示对相应变量(a，b，c)的导数，例如：

　　连续性方程
　　设某质点的初始体积ΔV0(→0)，t 时刻的体积ΔV。根据数学分析，雅可比矩阵J的行列式(记为|J|)是在映射(4)下质点体积元的缩放因子：

　　设流体初始的质量密度为ρ0，t时刻的质量密度为ρ。根据质量守恒定律，ρ0ΔV0=ρΔV。将上式代入，得到拉格朗日坐标下的连续性方程

　　对于一维的情形，根据定义(6)知|J|=1+ξa，公式(7)遂简为：

　　运动方程
　　理想流体的运动遵循欧拉方程：

　　式中，P是流体压强。在拉格朗日体系中，速度v也是拉格朗日坐标R=(a，b，c)和时间t的函数：v = v(R, t)。所以，加速度dv/dt是对v的时间偏导数。如此，上列欧拉方程可改写为

　　在此方程的等式两端同时点乘矢量：

　　并利用微分关系

　　得到

　　同理，可得

　　三个方程合而为一，可表为

　　此即拉格朗日体系的流体运动方程。式中，雅可比矩阵J由公式(6)给出。或者，利用公式(5)用位移矢量δr表示，

　　如以矩阵表示，则可表为矩阵形式

　　在一维情形，J = 1+ξa，方程(8)于是简化为：

　　其中已经利用了连续性方程(7a)。可见，拉格朗日描述下质点的一维运动方程是线性的。当然，质点运动仍是非线性的，集中体现在连续性方程(7)以及(下述的)状态方程中。

　　一维理想流体的非线性声波方程
　　理想流体(如气体)满足绝热状态方程：P=P(ρ)。利用连续性方程 (7a)，则：

　　代入一维运动方程(10)的右端，得到非线性声波方程

　　其中P'(ρ)=dP/dρ。如果|ξa|<<1，则可对方程(11)作线性化处理，从而得到熟知的线性波动方程。若|ξa|<1，则有泰勒展开：

　　式中，c0是熟知的线性声速，而β是非线性系数，衡量媒质本身(二次)非线性的大小。若仅计及二阶非线性小量，则方程(11)可近似为

　　方程的左端是标准的一维波动方程，而右端的非齐次项是二次非线性的贡献。

　　【注1】在诸如湍流等复杂流动情形，可逆性或许不存在，两种描述难于转换。

　　本文来源于网易聲之韻博客，作者王新龍，南京大学声学研究所。