线性系统稳定性准则与李雅普诺夫一次近似理论

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　　李雅普诺夫直接方法理论上适用于一切非线性系统，但由于缺乏普遍适用的构造李雅普诺夫函数的方法，因此，实际应用时存在不少困难。

　　线性系统已经发展的十分完善。将非线性系统近似化为线性系统，称为一次近似系统。能否用一次近似系统的稳定性分析代替非线性系统的稳定性分析，需要研究。本文首先介绍了线性系统的稳定性准则，然后给出李雅普诺夫一次近似理论。

　　一、线性系统的稳定性准则

　　讨论n维自治系统，x为n维列向量，其扰动方程为：

　　当扰动足够小时，将上述扰动方程右边展成泰勒级数，略去二次及以上项，得到线性方程组，即原系统的一次近似方程：

　　式中

　　设原系统的一次近似方程的解为：

　　式中，B=(Bj)为常值列阵，代入原系统的一次近似方程，得：

　　B有非零解的充分必要条件是：

　　展开后得到s的n次代数方程，即A的特征方程。

　　此方程的根为A的特征值，设共有m个不同的特征值s1,s2,···,sm，每个根的重数分别为n1,n2,···,nm，显然有：

　　1. 设A有n个不同的单根，原系统的一次近似方程的解为：

　　特征值sk 有负实部时，对应的解随时间推移趋于零。有正实部的特征值sk 对应的解无限增大。作为临界情形，特征是sk 有零实部时，对应的基本解为有界函数。

　　2. A有重的特征值sk，重数为nk，则方程基本解为：

　　fk(t))是t的nk-1次多项式。

　　由于线性微分方程组的通解是由基本解的线性组合构成，因此，原系统的一次近似方程的零解稳定性可根据特征值的实部符号判定。归纳为以下定理。

　　线性方程组稳定性准则
　　    · 定理一：若所有特征值的实部为负，则线性方程组的零解渐近稳定。

　　    · 定理二：若至少有一特征值的实部为正，则线性方程组的零解不稳定。具有正实部的特征值数目称为不稳定度。


　　    · 定理三：若存在零实部的特征值，且为单根，其余根无正实部，则线性方程组的零解稳定，但不是渐近稳定。若为重根， 则零解不稳定。

　　二、李雅普诺夫一次近似理论

　　以上三定理适用于线性系统，李雅普诺夫证明，在一定条件下，从一次近似方程的稳定性推断原方程的稳定性。归纳为以下定理。

　　    · 定理一：若一次近似方程的所有特征值的实部为负，则原线性方程组的零解渐近稳定。


　　    · 定理二：若一次近似方程至少有一特征值的实部为正，则原方程组的零解不稳定。


　　    · 定理三：若一次近似方程存在零实部的特征值，其余根无正实部，则不能判断原方程组的零解稳定性。

　　定理一和定理二与线性系统相同，定理三为临界情况，线性系统能判断稳定与否。但非线性系统不行，此时非线性系统的稳定性在很大程度上取决于略去的高次项。

　　例1：带阻尼单摆平衡状态的稳定性
　　设单摆的质量为m，摆长为l，粘性阻尼系数为c，相对垂直轴的偏角为φ，如图示。

　　动力学方程为

　　或

　　其中

　　动力学方程的一次近似方程为：

　　此线性系统的本征方程和本征值为：

　　在任何情况下，本征值的实部均为负，因此，动力学方程的一次近似方程的零解渐近稳定。根据李雅普诺夫一次近似理论的定理一，原非线性系统动力学方程的零解亦渐近稳定。即带阻尼单摆的平衡为渐近稳定。

　　若单摆无阻尼，令n=0，则本征值为纯虚根。

　　动力学方程的一次近似方程的零解稳定，但根据李雅普诺夫一次近似理论的定理三，不能据此判断原非线性方程的零解稳定性。

　　例2：单摆倒立平衡的稳定性

　　倒置单摆的动力学方程为：

　　其一次近似方程的本征方程和本征值为：

　　本征值存在正实部，根据李雅普诺夫一次近似理论的定理二，一次近似方程和原方程的零解均不稳定。即倒置单摆的平衡不稳定。

　　例3：非线性系统的零解稳定性

　　解：上述方程的一次近似方程为：

　　本征方程和本征值为：

　　一次近似方程的零解稳定，但由于存在实部为零的单根，根据李雅普诺夫一次近似理论的定理三，原方程的零解稳定性不能由一次近似方程确定。为证实此结论，选择正定李雅普诺夫函数：

　　计算V沿原方程解曲线的全导数。得到：

　　因此，原方程的零解稳定性取决于非线性项的系数a。

　　    · 当a<0时， 为负定，原方程的零解为渐近稳定;


　　    · 当a=0时，恒定于零，零解为稳定;


　　    · 当a>0时，为正定，零解不稳定。

　　三、劳斯-赫尔维茨判据

　　一次近似方程的全部特征值实部为负，是一次近似方程也是原方程的零解渐近稳定的充分条件。

　　1895年提出的劳斯-赫尔维茨判据是判断此条件是否满足的实用方法。设线性方程组的特征方程展开后的一般形式为：

　　规定a0>0，将此方程的系数按以下规则构成n阶方阵D：

　　    · 将a1,a2,···,an一次排列成主对角线元素;

　　    · 任意k行内，自对角线元素ak向左的元素依次为：ak+1,ak+2,···,an排列，an以后的元素为零;


　　    · 自对角线元素ak向右的元素依次为：ak-1,ak-2,···,an排列，a0以后的元素为零。

　　D的n个顺序主子行列式Δi (i=1,2,···,n)称为特征多项式的赫尔维茨行列式：

　　定理：代数特征方程的所有根均有负实部的充分必要条件为所有赫尔维茨行列式均大于零，即

　　对于几种低阶情形，上述条件可予以简化，在表1中列出

　　表1

　　来源：摘编自《高等动力学——运动稳定性基础》讲义
　　作者：李毅 中国矿业大学力建学院力学系