随机振动分析的发展现状及虚拟激励法的基本原理

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　　科学和工程意义

　　随机性是自然现象的基本特征之一。随机振动分析对许多工程领域都十分重要，例如：
　　  · 地震是随机振动，是对人类最危险的自然灾害;
　　  · 桥梁和高柔结构的风激随机振动;
　　  · 随机海浪作用下海洋平台、舰船的安全性;
　　  · 火车、汽车要开得快，必须控制随机振动;
　　  · 飞机、导弹也在随机气动环境中运行。

　　发展现状
　　随机振动作为一门新兴的技术学科，虽然已经积累了丰富的理论成果。但是在工程领域却远没有得到充分的应用。甚至于连线性分析也没有做好。

　　关键原因：计算方法复杂低效。

　　典型的例子：近二三十年来，大跨度桥梁越造越多，抗震分析应考虑各桥墩的随机运动，成为研究的焦点。例如美国国家科学基金会(NSF)资助了一些很著名的工作：

　　  · 加州大学伯克利分校：工学院院长， 地震研究中心主任，A.Der Kiureghian(丘里金) 教授。
　　  · 普林斯顿大学：E.H.Vanmarcke(范马克)教授。

　　但是，经多年努力，他们都没能解决好高阶随机微分方程的求解。提出的近似解法也相当繁琐。不实用。

　　丘里金正式发表的研究报告(1992)

　　虽然随机振动以其统计特性而很吸引人，它却还不能成为执业工程师所接受的方法。

　　范马克正式发表的研究报告(1994)

　　随机振动方法用于地震工程还是不现实的，除非是对于只有少量自由度和地面节点的简单结构。

　　Vanmarcke与Kiureghian都提出了近似的反应谱方法。结果发生了公开争论，见ASCE，EM121(9)，1995。

　　Vanmarcke批评Kiureghian的算法包含ΣΣΣΣ ，计算效率太低。而Kiureghian批评Vanmarcke方法，只含ΣΣΣΣ，看起来很吸引人，但是本质上是SRSS法，可能产生很大的误差。

　　其它著名学者在这方面的研究工作：

　　大跨度结构多点随机激励分析成为令人瞩目的热点问题。尽管只是线性随机振动分析，在工程中也很难应用。


　　上述困难，已经被大连理工大学教授林家浩提出的用一个全新方法：虚拟激励法(Pseudo-excitation method，PEM)完全解决了.

　　虚拟激励法的先进性究竟如何?
　　1998-2000，在中美两国科学基金会的资助下，钟万勰，林家浩三次访问美国，在美国20多个著名大学和设计研究机构作了学术报告。引起了比较大的反响。

　　钟万勰林家浩三次访美

　　林家浩在加州理工学院做学术报告后与T.K.Caughey合影

虚拟激励法

　　大跨度结构的随机地震动分析
　　STATIONARY平稳地面激励
　　Case 1. uniform ground excitations(均匀地面运动)
　　Case 2. phase-lags between ground nodes considered(行波)
　　Case 3. partial coherency were also taken into account(行波效应+部分相干效应)

　　NON-STATIONARY非平稳
　　Case 4. uniform ground excitations
　　Case 5. phase-lags between ground nodes were considered
　　Case 6. partial coherency between ground nodes were also taken into account

　　平稳随机信号由大量简谐分量组成

　　荷载-响应功率谱转换的计算是随机振动工程应用的核心问题。

　　虚拟激励法基本原理

　　已知：Sxx(ω)~ 激励x(t)的功率谱密度，H(ω)~ 响应y和z的频率响应函数。

　　要计算：y和z的功率谱密度，亦即：Syy(ω) Syz(ω)


　　如果计算得到简谐响应，则可由它们计算得y和z的功率谱密度：

　　自功率谱密度：

　　互功率谱密度：

　　它们的矩阵形式为：

　　其中：~ 代表复共轭，T代表矩阵转置。

　　以结构抗震分析为例：

　　令虚拟地面加速度为：

　　则式(1)成为

　　其解为

　　按PEM，{y(t)} 的功率谱密度为：

　　如果将(4)代入(5)并展开，可得到常规的CQC公式：

　　其SRSS近似是

　　计算效率
　　(1) 按虚拟激励法(Pseudo Excitation Method (PEM))

　　1 multiplication operation only!

　　(2) 按常规CQC法(Conventional CQC Method)

　　90000 multiplication operations

　　(3) 按SRSS近似(Conventional SRSS Approximation)

　　300 multiplication operations 被许多专著广泛推荐的方法

　　在一些文献中亦将虚拟激励法称之为快速CQC算法，它不能略去交叉项，所以没有SRSS形式。

　　本文摘录自林家浩等在2009年同济大学随机振动理论与应用暑假讨论班上的报告《虚拟激励法的进展与前瞻》。