武际可教授从打水漂谈力学

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　　很多人小时候打过水漂。在河边或池边，选一块扁平的石头，对着水，接近水平地使劲一投，那石子便会在水上一跳一跳地跳向远方，直到跳不动了沉入水底。记得小时候，即使运气不好，石头打出去也能够跳三、四跳，运气好时，能够跳十几跳。

　　图1 打水漂

　　图2 水漂

　　后来发现，不仅中国人在玩打水漂，小孩子在玩打水漂，全世界的小孩、大人都在玩，外国人称为skipping stones。为了玩出名堂来，吉尼斯还专门记录打水漂的成绩。据说最高世界纪录是一位日本人创造的，一次打水漂能够跳91次。啊!这实在是平常人难于达到的。

　　认真说来，一个物体投向水面，这个问题是十分复杂的。投出的物体的速度、运动方向与水平面的交角、运动物体的形状，都会影响问题的结果，它们的变化能够使问题变为完全不同的问题。例如，物体与水平面接近垂直的方式入水，这就是一个物体与水面正碰撞问题，我们平常看到的，跳水运动所受的水面撞击力，就是这个问题。进一步讲，飞机投鱼雷入水的撞击力，也是这个问题，我们知道，周培源先生在二战期间就在美国从事过空投鱼雷入水问题的研究。

　　打水漂的问题是，投出的物体速度接近与水平面平行的情形。在这种情形下，石头与水平面撞击后为什么能够跳起来呢?这需要对它的机理说几句。

　　在打水漂时，我们来看在石头接触水时贴着石头下面的那层水，由于石头沿着水平面有很高的速度，所以这层水也被石头带着有很高的速度。我们由流体力学中的伯努利定律知道，沿着一根流线，流体的速度愈大，压强愈小。就是说在贴着石头下面的水的压强是很小的。石头再往下面，水几乎是静止的，于是这地方压强比较大。那么处于石头下面的一个适当厚度的水，在这个压差之下就会往上跳，也正是这个上跳的动量，把石头撞得跳了起来。更重要的是，在一般情况下，石头接触水平面时有一个攻角，犹如在空气中运动的有攻角的平板会产生升力，这个攻角也会加大水对石头的反力更容易使石头跳起来。其实这个攻角很重要，它经常是石头跳不跳起来的关键。

　　打水漂既然能够吸引那么多人关注和参与，自然会吸引人进行比较深入的研究。据现有资料，法国的物理学家利达瑞•柏奎和克里斯托弗•克兰尼等制作了一个“打水漂机”，它能够以不同的速度、不同的姿态发射铝制的薄圆形“石头”去模拟人的打水漂。同时，他们还把“石头”与水的碰撞过程，进行了理论讨论，并且把实验结果与理论进行对照。主要结果发表在论文[1]中。后来还有一些理论和计算研究的文章陆续在杂志上看到。

　　在[1]中，作者将一个半径为R、厚度为h 的铝制圆盘与水开始碰撞的时刻表示如图3，其中α 为圆盘与水平面的夹角、β 为圆盘飞行速度矢量与水平面的夹角、Ω为圆盘的旋转角速度、U为圆盘的速度矢量、n为圆盘的法向单位矢量。

　　图3 圆盘与水平面碰撞是的姿态

　　作者得到的主要结果可以用图4的两张图表来表示。

　　图4 理论与实验结果(所用的铝盘半径为2.5cm，厚度为2.75mm。b图是在Ω为每秒65周、β为20°时得到的。c图的圆盘速度为每秒3.5m，Ω亦为每秒65周。)

　　在图上，作者将起跳 (skipping) 和不起跳 (No skiping) 的范围标志得很清楚。例如当石头的仰角α 为20°时，大约圆盘的飞行速度为每秒2.5m时便可起跳，而当α 接近零度或超过大约55°时，则无论多大的速度都打不起任何漂来，石头只会咕咚一声沉到水底。

　　在二战时期，早在柏奎之前，英国的著名工程师和发明家巴恩斯•沃利斯 (Barnes Neville Wallis，1887-1979) 就对打水漂进行了认真的研究。不过，他的目的不是纯粹为了打水漂玩，而是为了赢得对德国法西斯战争的胜利，为此发明了跳弹。

　　1939年欧洲战争爆发后，沃利斯就计划提供一种武器，以摧毁德国法西斯得以维持战争的资源。英国人选中了德国的鲁尔谷地 (Ruhr Valley)。这里居住着大量的人口，也是德国最重要的粮食谷物出产地。可以说是德国支持战争供给的大后方。在鲁尔谷地，有三座著名的大坝， Möhne 、Eder和Sorpe 。他们不仅为德国提供电力，还提供富饶的农产区。这三座水坝当然成为英国人最好的攻击目标。但是，德国人也早已防范，布置了密布的鱼雷网，以防止对方空投鱼雷到大坝后的水中进行攻击。

　　沃利斯发明的跳弹 (bouncing bamb) 就是利用打水漂的原理，使飞机投下的炸弹不入水，而是经过在水面上几跳以后直接到坝体上爆炸。他于1942年在水池中进行试验。为了能够把水坝炸坏，炸弹要有一定的份量，具体说需要十吨以上的重量。当时一般轰炸机还不能载动这样大型的炸弹，于是就要设计和制造加大的轰炸机(后来实际投下的炸弹是4.2吨)。这还不算，投弹是一个十分精细的活，经过仔细计算，要求飞机以某一特定速度，在某一特定高度，在与水坝某一特定距离，以特定的转速投下一颗炸弹。具体地说，需要在距离大坝大约800米处、飞行高度为18米，同时速度达到373千米每小时，在这样的条件下投下每分钟500转的炸弹。炸弹就可以在水库水面上“咚咚”地跳上六、七跳，跳过防雷网，直至坝体处爆炸。

　　图5 巴恩斯•沃利斯像

　　图6 被炸毁的Möhne坝

　　图7 跳弹的示意图

　　1943年5月16日晚，英国空军617中队执行的代号为“惩戒”的秘密行动中，用这种“跳弹”空袭纳粹德国鲁尔谷地上的三座大坝。结果英国成功地把上述三座坝中的Möhne 、Eder炸毁。空袭后，因垮坝产生的洪流冲毁了25座桥梁，致使鲁尔区两座发电站瘫痪，其余的严重受损，125个军工厂损失惨重。的确给德国打击不小。

　　投弹时，飞机的飞行速度，可以有飞机上的仪表确定。但是准确的飞行高度，需要特别的设备，图8使用两束光线的交叉点为需要的飞行高度，当飞行员看到水面上两个光点汇合为一点时，飞行高度正好适合投弹要求。

　　图8 飞机投放跳弹

　　由打水漂的启示可以发明跳弹。我们还可以由打水漂联想到空间飞行器返回地球再入大气层的问题，那也近似于打水漂的问题。因为大气由极稀薄到大气稠密，也可以看作一个流体的界面。固然空气的密度比水小许多，但是飞行器的速度却是有每秒好几公里的高速度，这里的问题是，如果垂直于界面进入大气，由于飞行器直接很快进入稠密大气，因为摩擦力比较大，飞行器会发热过度，不能保证安全。但如果与界面的夹角过小，飞行器就会在界面上打起水漂，上下跳个没完。所再入大气的合适的角度范围，也是一个航天技术中值得注意的问题。

　　参考文献：
　　[1] Lionel Roselini, Fabien Hersen, Christophe Clanet, Lydéric Bocquet,Skipping stones, J. Fluid Mech. (2005), vol. 000, pp. 1–10.

　　来源：武际可科学网博客，作者：武际可 北京大学力学系。