有关小波的几个术语及常见的小波基介绍

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　　作者附言：本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

　　一、小波基选择标准

　　小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：

　　1、支撑长度
　　小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

　　这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值;而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

　　2、对称性
　　具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

　　3、消失矩
　　在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩(Vanishing Moments)条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

　　小波的消失矩的定义为，若

　　其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点(一阶零点就是容许条件)。


　　4、正则性
　　在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。

　　消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波(比如，样条小波，Daubechies小波等)来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

　　5、相似性
　　选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。

　　二、常见的小波基

　　以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。

　　1、Haar小波
　　Haar，一般音译为“哈尔”。

　　Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。

　　Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

　　2、Daubechies(dbN)小波
　　Daubechies，一般音译为“多贝西”。

　　Daubechies小波(紧支集正交小波)是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。

　　dbN小波的特点是随着阶次(序列N)的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性(即非线性相位)，即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式(除了N=1外，N=1时即为Haar小波)。

　　3、Symlet(symN)小波
　　Symlet小波函数(近似对称的紧支集正交小波) 是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。

　　4、Coiflet(coifN)小波
　　根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。

　　5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波
　　为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。

　　双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k δl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。

　　该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相位和较短支集的特性。

　　6、ReverseBior小波
　　由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。

　　7、Meyer小波
　　Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。

　　8、Dmeyer小波
　　Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。

　　9、Gaussian小波
　　Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。

　　10、MexicanHat(mexh)小波
　　Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数。因数它的形状像墨西哥帽的截面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在尺度函数，所以此小波函数不具有正交性。

　　11、Morlet小波
　　Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解。

　　12、ComplexGaussian小波
　　属于一类复小波，没有尺度函数。

　　13、ComplexShannon Wavelets：shan

　　14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets
　　复高斯B样条小波：样条函数(splinefunction)指一类分段(片)光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。

　　15、ComplexMorlet小波
　　Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。

　　参考文献
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　　【5】wcrzq，microwest.紧支集是什么意思，求详细解释，谢谢.百度知道
　　【6】zhaodong584584. 消失矩阶数，百度百科
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　　【10】洋务大臣. 样条函数，百度百科
　　【11】其它网络资源，Thanks!!!

　　来源：CSDN博客，彬彬有礼的专栏
　　作者：jbb0523