信号分析基础理论知识之频谱分析

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　　1. 从时域到频域
　　实际的波形可视为由若干正弦波所合成，每一正弦分量各有其一定的频率和幅值。

　　(a) 波形;(b) 由三个正弦波组成;(c) 频谱

　　2. 傅里叶变换
　　(1) FT (连续傅里叶变换)

　　正变换：

　　逆变换：

　　其中，ω=2πf，f(t)为时域数据序列，F(ω)为频域的谱函数序列。

　　(2) DFT(离散傅里叶变换)

　　对N个样点的数字化的时域波形进行数值积分计算，计算某一频率点的幅值。可在计算机上进行，但计算量巨大。

　　(3) FFT(快速傅里叶变换)

　　离散变换的一种快速算法，计算速度快，适合工程应用，但具有如下限制：

　　  · 参与计算的数据点数(FFT分析点数)必须为2的幂次方，即2n。


　　  · 频率分辨率问题，频率间隔Δf。

　　3. 频谱泄露误差

　　  · 泄漏产生：当实际信号的频率处于f(i)和f(i+1)之间时，则会产生频率泄漏现象，导致误差。


　　  · 频率误差：FFT频率反映的频率为(i-1)Δf Hz或者iΔf Hz，最大频率误差为Δf/2。


　　  · 幅值误差：谱峰的幅值减小，泄漏到附近的谱峰上，最大幅值误差为36.3%。


　　  · 整周期采样：信号的频率正好处于f(i)的位置上，即信号频率等于Δf 的整数倍，则不会产生泄漏。

　　产生机理(边缘截断)：

　　常用校正方法：
　　  · 加窗处理：如hanning、平顶窗等，仅能校正幅值，不能校正频率;


　　  · 频率计校正：可以对若干个单个谱峰进行校正，特点为快速实时，既能校正幅值，又能校正频率;


　　  · 平滑处理：能有效校正最大谱峰处的幅值，不能校正频率。

　　4. 加窗和平滑
　　加窗可消除或减轻信号截断和周期化带来的不连续问题。平滑是将频谱任何一点的附近若干点进行相加，将泄露到两边的能量加回来。

　　(a) 整周期;(b) 严重泄露;(c) 加汉宁窗;(d) 平滑

　　5. 窗函数基本特性
　　相当于滤波器。

　　6. 常用窗

　　(a) 指数窗形式;(b) hanning窗形式;(c)hamming窗形式

　　(d) 平顶窗形式;(e) Kaiser窗形式;(f) 余弦矩形窗形式

　　7. 平均和重叠
　　平均：
　　对较长的信号进行平均计算，用以消除随机噪声带来的误差。

　　一般有如下平均方式：

　　  · 线性平均：全程分析过程中的每次FFT结果进行线性平均;

　　  · 峰值保持：全程分析过程中，每条谱线分别保持其最大值，常用于扫频信号的分析;


　　  · 最大值保持：全程分析过程中，搜索能量最大的一幅波形(总有效值最大)，对其进行频谱分析，作为最后的结果;


　　  · 指数平均：全程分析过程中的每次FFT结果进行指数平均，越后面分析的结果所占权重越大，最后一次占1/2，倒数第二次占1/4，依此类推。

　　重叠：
　　对于加窗处理，可充分利用其被窗函数衰减掉的部分的信号。

　　例如，从20Hz到160Hz的正弦匀速扫频信号，长度8K点，FFT点数1K点，hanning窗。

　　扫频信号无重叠加窗

　　(a) Hanning，无重叠;(b) Hanning，90%重叠

　　来源：COINV东方所振动噪声测试公众号(ID：coinv2016)