主振型的正交性及其物理意义浅析

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　　在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于质量矩阵或是刚度矩阵，都具有正交的性质，分别称为第一正交性和第二正交性。

　　利用这一特性，一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题(主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动)，二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的形状特点。

　　主振型的第一正交性

　　n个自由度体系的振型方程为：

　　设ωi为第i个自振频率，其相应的振型为 ；ωj为第j个自振频率，其相应的振型为 。将它们分别代入上式，可得：

　　对上边第一个公式两边左乘以 ，对上边第二个公式两边左乘以 ，则有：

　　将上式两边转置，将有：

　　将：

　　减去

　　得：

　　当 时，得：

　　即：

　　上两式称为主振型的第一正交性，它表明，对于质量矩阵[M]，不同频率的两个主振型是彼此正交的。

　　主振型的第二正交性

　　将

　　代入

　　可得：

　　上式称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩阵[K]，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。

　　主振型正交性的物理意义

　　1、第一正交性的物理意义
　　将 分别乘以 和 ，可以得出以下两式：

　　上式说明第i主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零;

　　上式说明第j主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。

　　因此，第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。

　　2、第二正交性的物理意义
　　由

　　可推导出

　　由

　　可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做功。

　　3、小结
　　主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。

　　来源：整理自重庆大学土木工程学院《结构力学——主振型的正交性》PPT讲义