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[其他相关] 阻尼模态理论基础知识之三个典型阻尼模型

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发表于 2018-7-17 11:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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  结构系统动力学分析中,特别是动响应分析,阻尼的作用是不可忽略的,由于阻尼的存在,结构系统的模态特性呈现出复杂性。
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  结构系统在其振动过程中,阻尼的产生有多种原因,来自多个方面,有介质阻尼,材料阻尼,摩擦阻尼,以及结构阻尼等。不同类型的阻尼是由不同的机理生成,难以用一个简单的统一的规律作综合的描述。而且它们的阻尼机理也都比较复杂,作用在不同的结构系统有不相同的定量规律。这样,阻尼的分析不可能象刚度与惯性那样通过分析来建立它的特性矩阵,目前只能对具体结构系统作试验实测,给出它的定量结果。

  阻尼从运动角度看,它起阻碍运动的作用,其阻尼力的方向是与运动方向相反。阻尼力大小的具体规律受多种因素影响,往往需对具体问题作具体分析,且只能突出主要因素通过实验加以测定。阻尼从能量角度看,它消耗结构系统的能量,其量值可用它在振动一周内所耗散的能量来度量。由于阻尼机理的复杂性,缺乏统一的规律性,在工程上只能采用简单模型用能量等价的方法作简化处理。下面首先对三种典型阻尼的机理分别作个简要介绍。

  一、粘性阻尼模型
  结构系统最简单的一种阻尼模型是粘性阻尼模型,由于它是一种线性阻尼模型,被广泛应用于结构动力学分析。粘性阻尼的机理是基于在粘性流中流动的物体所受到的一种阻力,它的大小与运动速度成正比,运动速度越大则所受的阻力也越大,它的方向是与速度反向,对于一个质点来说,它粘性阻尼力的数学表达式可写为:
2.png
  其中,v是质点的速度,c是介质的粘性阻尼系数。由于粘性阻尼的存在,在运动过程中要耗散能量,它在单位时间内耗散的功率如下:
3.png
  若结构系统是个连续系统,在粘性流介质中运动时产生有分布阻尼力。它也用粘性阻尼力的数学表达式表示,所不同的是它是位置坐标xi的场变量。它所耗散的功率:
4.png
  D称之为耗散函数,当结构系统进行离散化后,离散化结构系统的阻尼力列阵是:
5.png
  它的耗散函数是:
6.png
  其中,[C]称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型,在以后的分析中若不作特殊说明时,所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。

  二、材料阻尼模型
  结构系统的另一种重要阻尼是由材料内阻产生的。结构系统发生不断的往复运动时材料内部阻尼将消耗其机械能,这种材料内阻与材料性能有关,取决于材料的本构关系。材料的弹性性能由虎克定律用下式表示:
7.png
  材料阻尼所产生的阻尼应力σe认为是与应变率成正比,设其比例系数是g,且阻尼应力的方向与应变率反向,即:
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  则这种阻尼材料的本构关系是:
9.png
  这种简单的材料阻尼模型,称之为Voigt模型。设结构系统以频率ω作简谐振动,其应变分量也按简谐规律变化,即:
10.png
  则它的总应力是:
11.png
  其中复模量:
12.png
  是Voigt型阻尼材料的复模量。

  材料阻尼有多种阻尼模型,它的一种描述形式是用其复模量。它的实部是其弹性性能,它的虚部是其阻尼性能。一种最简形式是:
QQ截图20180717111318.png
  但这种形式实用上有非常大的局限性,只适用于单自由度系统作简谐振动的情况。

  目前比较广泛使用的材料阻尼模型是粘弹性阻尼模型。它是建立在材料的粘弹性本构关系基础之上的。这种粘弹性材料性能是与其变形历史有关,且具有渐忘记忆特性。它的本构关系在拉氏域内的描述有与虎克定律相似的形式,即:
13.png
  其中E(s)是拉氏域内的复模量,它的一种标准导数模型可用拉氏变量的有理分式给出,即:
14.png
  这种粘弹性阻尼模型的引入是对材料阻尼的一种较好的描述,它给出了阻尼的频变性能。

  三、摩擦阻尼模型
  结构系统是由构件组合而成。各构件之间存在着间隙和摩擦,它们构成摩擦阻尼,在结构系统发生振动时它要消耗能量。它的一种最简单的阻尼模型是库伦摩擦阻尼模型,库伦摩擦力为:
15.png
  其中N是正压力,μ是摩擦系数,dur/dt是摩擦副之间的相对速度。这是一种常见的阻尼模型,但它是一种非线性阻尼模型,在分析计算中有众多困难,这里将不作进一步的分析。

  为在实际分析中能考虑各类阻尼的耗能作用,可以用当时粘性阻尼来替代。以库伦摩擦阻尼为例,当结构系统作简谐振动时,在一个周期内库伦摩擦力所消耗的功约等于4μNxm,其中xm是其振幅。而当量粘性阻尼力的功是πcfωxm2  。于是,它的当量粘性阻尼系数应是:
16.png
  这样,可以近似地将它与粘阻尼系数合并来考虑摩擦阻尼的作用。

  来源:整理自百度文库《阻尼模态理论》

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