大自然的启示——网格那些事儿

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　　作为初学者，总是很容易陷入技术细节不可自拔：在数值模拟中到底该采用什么类型的网格?

　　数值模拟的本质就是解方程，即采用数值方法在时间维度和空间维度上求解流体的控制方程。其主要思想就是将连续的计算区域分割成足够小的计算单元，在每一个单元上应用流体控制方程，进而获得整个计算区域上的物理量分布。这个分割的本质就是离散，其承载就是网格，过程就是网格划分。

　　在无网格法成为主流之前，网格类型的选择和生成仍然是数值模拟中最重要的一环，不仅耗费大量的时间和精力，而且对模拟结果有着直接的影响。

　　离散包含两个维度：

　　  · 时间离散：时变偏微分方程和定常偏微分方程。

　　  · 空间离散：有限差分法、有限体积法等。

　　常用网格类型：

　　  · 结构化网格：这里采用粗略的方法进行区分，特指只包含四边形或者六面体的网格。

　　全附体潜艇模型网格

　　  · 非结构化网格，则指除结构化网格以外的网格类型，一般指三角形或四面体网格、多边形或多面体网格。

　　四面体网格及由其转化而来的多面体网格

　　六面体网格和四面体网格，在平时的文献中较为常见，大家平时也基本上都在使用。而多面体网格，国内的文献较少涉及，作者也是接触了Star-CCM+这款软件之后，才去了解了一些关于多面体网格的知识。

　　关于多面体网格，先抛出三个好玩的东东：

　　 · 蜂窝猜想 (Honeycomb Conjecture)：4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。他猜想，这种截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少的蜂蜡建造成的，他的这一猜想被称为“蜂窝猜想”。由此引出的一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形。

　　蜂窝猜想

　　  · 开尔文问题 (Kelvin Problem)：1887年，开尔文爵士(就是搞热力学贼牛逼的哥们)提出了开尔文问题：如果将三维空间细分为若干个小部分，保证接触面积最小，这些细小的部分应该是什么形状的?根据上面的“蜂窝猜想”，就二维空间来说就是蜂房的六边形堆积。针对三维问题，开尔文提出的解决答案是14面体，但是缺乏严谨的数学证明。

　　  · 威尔-弗兰泡泡 (Weaire-Phelan Bubbles)：1993年，爱尔兰都柏林大学的两位物理学教授威尔和弗兰受到一类称为笼结构化合物 (Na8Si46) 结构的启发，提出了一种新的解决方案。这种笼式化合物由8个笼组成，包含6个14面体和2个12面体，这被认为是开尔文问题的最理想解答。(这也是奥运场馆水立方的解决方案)

　　水立方

　　根据这三个好玩的理论，在相同的模拟精度要求时，采用多面体网格可以大幅减小网格数量，并且因为单元之间具有较多的接触面(12或14个)，对梯度信息插值和局部流动信息分布的预报更加准确。

　　具体在计算过程中，该采用哪一种网格，与个人爱好、实际物理情形等众多因素有关，作者从自己的经验和从读到的文献，对三种网格(四面体网格、六面体网格、多面体网格)做简单的对比，不权威，欢迎交流和拍砖。

　　首先，从生成方式看。
　　六面体网格全是手动，这不是划分网格，而是在进行艺术创作。以ICEM CFD为例，船小二觉得自己瞬间变成了罗丹大师，要在一个方形的大石头中雕刻出自己的模型，还要惟妙惟肖，栩栩如生。这个过程对于初学者来说，需要极大的耐心和恒心，对自己常用的模型要多次尝试，熟稔于心之后才能信手拈来。但是看到成果之后，你就觉得所有的付出都是值得的。而四面体网格和多面体网格则可以由软件自动生成，只要设置好参数，其他的就交给软件了，这里经验的作用更大一些。

　　第二，从网格数量看。
　　根据文献，要达到相同精度的模拟，需要的四面体网格数量是最多的，大概是六面体网格和多面体网格的4-6倍。但是四面体网格的生成效率是最高的。多面体网格，一般都是从四面体网格转化得到，Ansys Fluent可以直接将四面体网格转换为多面体网格，Openfoam也可以由polyDualMesh对四面体网格进行转换，Star-CCM+的多面体网格划分过程不知道是不是也是相同的原理，下一步去查查看。对于局部加密来说，结构化网格因为要满足节点的对应关系，会在不需要的区域也进行加密，从而增加计算量，不如非结构网格来得便捷。

　　第三，从计算精度和收敛性能看。
　　六面体网格通常具有更好的计算效率和精度，四面体网格相对较差。多面体网格，因为单元之间具有更多的接触面(一般为12或14个，而六面体为6个，四面体为4个)，因此，能得到更多的插值信息，具有更快的收敛速度，并且对于强漩涡流 (strong swirl) 的模拟具有更明显的优势，但对于外流场的计算还有待进一步确认。另外，对于六面体网格来说，因为节点个数和分布规律是由人为确定的，因此，更便于进行网格无关性 (Grid Independence Analysis) 分析，以及边界层网格的定义，而非结构网格的无关性分析，船小二还没有接触过。

　　每种网格都有其优缺点，具体的选择要根据时间周期、计算机性能、精度要求、个人喜好等因素进行平衡，就像鞋子一样，适合的才是最好的。

　　来源：ANSYS学习与应用微信公众号(ID：use_ansys)，作者：船小二。