一堂课讲清非线性动力学、混沌、分型、网络科学、复杂系统的...

坚持不懈

　　动力学发展的历史

　　十七世纪中期(mid-1600s)，牛顿到达他的学术巅峰——发明微积分、发现牛顿三定律和万有引力、解释行星围绕太阳运动，也就是二体运动(2-Body Motion)，行星和太阳二体。之后牛顿仰慕者们希望将二体运动扩展到三体运动时，但是由于三体运动太难计算，他们一直卡住没有什么进展。

　　一卡卡到了十九世纪晚期(late-1800s)，因为定量研究走不通，Poincaré提出从定性角度去研究三体运动，使他成为了窥见混沌(Chaos)的第一人。他从确定的公式出发，发现了能够产生不循环的、对初始条件敏感的行为，从而认为无法通过计算长期的精确预测三体运动的结果。

　　但是他的研究成果当时并没有引起大家的注意，直到二十世纪中期(mid-1900s)之前，动力学还是基本围绕非线性振子(Nonlinear Oscillator)以及它在物理和工程领域的应用发展的，主要应用在无线电、雷达等方面。

　　到了1950s，计算机开始出现，人们可以用计算机来模拟动力学系统进行实验。

　　1963年，Lorenz在使用计算机来模拟大气系统，研究天气预测的时候，发现简单的几个因素复合就产生了一种神奇的现象，这个动力系统不会稳定下来变成周期性或者静止的点，而是一直以一种非周期性的不规则的方式震荡，蝴蝶形状的Chaos图形就是在他的实验中得到的。

　　混沌和非线性

　　1970年后，混沌理论有了长足的发展，Ruelle和Takens研究了扰流(Turbulence)的触发;May则在生物学领域提出用混沌来解释人口增长模型，让大家理解到了非线性的重要性和用线性来简化产生的问题;物理学家Feigenbaum则发现了在不同领域、不同特征的系统，往往发展出相似的混沌系统，提出这是一个普适的定律(Universal Law)。

　　同样在1970s，Mandelbrot发现了分形(Fractal)，直到现在爱好者们还在用计算机画出漂亮的无限Zoom in的Mandelbrot分形。

　　1980年后，混沌理论开始成为热门研究。

　　书中给出表格：

　　A Capsule History of Dynamics

　　动力学的数学逻辑结构

　　小心，这里要出现数学公式了。

　　为了把现实世界的运动归类，Strogatz教授提出可以根据两个指标：一个是动力学系统维数，也可以称为阶数，就是系统涉及变量个数，另一个是这个运动是线性的还是非线性的。

　　那我们先来看看他是怎么用数学来描述系统。

　　例1：牛顿物理中的一个匀速运动的物体。

　　根据初中学过的知识，我们知道这个物体的速度v是恒定的，不管物体运动到哪里。我们可以画图，纵坐标是速度v，横坐标是物体的位置。

　　这里的速度v，实际就是dx/dt，就是这个物体的位置的变化率，按照牛顿对导数的记号方法，用x上面加一点表示。

　　这样这个系统的数学公式就是： ，其中a是一个常数。

　　这个公式里，有一个变量， ，Strogatz教授称这是一维的;然后等式右边不包含任何平方、变量相乘、或者以变量为输入的函数，他称这是线性的。也就是这是一个一维线性系统。

　　例2：牛顿物理中的一个受作用力加速运动的物体。

　　纵坐标是物体的速度v，横坐标是物体的位置x，我们可以画图：

　　按照上面的约定，我们可以写出这个系统的数学公式： ，其中a、b是常数。所以这个系统也是一维线性系统。

　　例3：Damped oscillator。一个物体以一定的初速度，在有阻力的情况下随弹簧振动慢慢停滞的运动。

　　纵坐标是物体的速度v，横坐标是时间t，我们可以画图：

　　Damped oscillator的运动公式：

　　上面两条 和 的公式，就是描述这个系统的数学公式。通过这组公式可以看出，这个系统是二维的线性的系统。

　　通过这组公式可以看出，这个系统是二维的，同时因为右侧有变量x1输入sin函数，所以这个系统是非线性的。这是一个二维非线性系统。

　　用动力学的视角看世界

　　给出了系统的维度(或者说阶数)的定义，再给出了线性非线性的定义之后，我们就可以把这个世界的运动进行分类了。Strogatz教授给出了一张大图：

　　这图在上课时候写在黑板上是这样的：

　　这就是Strogatz教授对世界上的运动的归类的理解。

　　第一行是线性系统，我们就先不关心了，第二行是非线性系统，从一维(n=1)到二维到三维，这三部分就是这本书主要教授的内容。

　　而这张图的右下角，当n很大(n>>1)的时候，就是Network Science研究的领域，如果n是连续的话，这时就是广义相对论、扰流等研究的领域，整个右下角，统称为Complex Systems。也就是说，在理解了Chaos的数学表达之后，再将变量从3扩展到几万几亿个，就可以称之为Network Science了。