弹性力学到底该怎么学

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　　笔者学过理论力学，材料力学，结构力学，觉得都平易近人。唯独等到弹性理论的时候，是举步维艰，本来要看明白就费劲，最恼火的是，看完不久就会忘记，再去看明白，似乎还得费劲。世界上居然还有这样一门课，真是欲语还泪。

　　但前不久，笔者想到解放自己的办法了，笔者将弹性理论分为基础理论和经典解法。基础理论要深刻理解和扎实掌握。而对于经典解法，笔者一律只看目录，不闻细节，记得少，当然就不会忘，实乃忘无可忘。

　　基础理论

　　很多场问题的求解，其数学实质就是微分方程的定值条件求解。弹性力学的场问题有四个：位移场，应力场，应变场，温度场;弹性力学的微分方程有三个：平衡方程，几何方程，物理方程。

　　弹性力学的定值条件有两个：位移边界条件，应力边界条件。用位移可以表示应力边界条件，用应力一般不能表示位移边界条件。

　　弹性力学问题的求解有三条路线：位移法，应力法，混合法。位移法的微分方程复杂，不容易求解，但适用广;应力法的微分方程可能相对容易求解，但适用范围小。

　　弹性力学问题的经典求解方法一般都是应力法，其分为逆解法和半逆解法。所谓逆解法，先假设满足相容方程的某种形式的应力函数，由此推导出应力分量，应力分量必须满足应力边界条件;所谓半逆解法，先假设满足应力边界条件的某种形式的应力分量，由此推导出应力函数，再由应力函数推导出其它应力分量，应力函数要满足相容方程，应力分量要满足应力边界条件。

　　除以上之外，还需掌握应力分析，应变分析，强度理论。

　　所谓应力分析，包含，斜截面应力，八面体应力，主应力，等效应力，第一第二第三不变量等，应变分析类似;强度理论，其实是材料的强度理论，各种材料适用不同的强度模型。

　　平衡方程图

　　应力下标方法：对于切应力，第一个下标是应力所在平面的法向，第二个下标是应力的方向。对于正应力，下标是应力的方向。

　　微元体是一种力学模型，同时具有点和体的属性，很微妙。微元体上尺度的增量引起应力的增量，可用泰勒级数表示：

　　这是个数学公式，学弹性力学不需要对这个纠结。但是，为什么可以略去二阶微量建立平衡方程，真的是因为微量的原因吗?笔者直觉上不接受这种说法。

　　笔者认为，只考虑一阶的影响，是因为假设了微元体应力沿方向的变化是线性的。笔者又联想到有限元方法中的单元，一阶单元的位移是线性的，应变和应力是不变的，所以称为常应变单元;二阶单元的位移是二次的，应变和应力是线性的，所以称为线应变单元。只要微元体的应力是线性变化的，那么二阶以及更高阶微量就是零，就是不存在，并不是因为微小而忽略。

　　那么问题来了，是否可以假设微元体的应力是线性变化的呢?当然可以，虽然整个场的应力分布可以是非线性的，但微元体可以无限小，这其实有哲学意味。

　　那么还有一个问题，是否可以假设微元体应力不是线性的，是二次的行不行?当然可以，不过此时平衡方程要改，整个理论体系都要重新建立。但还是因为微元体是无限小的，线性变化和非线性变化并不影响问题的实质。

　　建立平衡方程的时候，需要强调平衡方程是建立在变形以前，而不是变形以后。笔者直觉上也觉得可疑，认为不管变形前的微元体还是变形后的微元体，只要是微元体，平衡方程的建立都是一样的。之所以不建立在变形后，是因为建立平衡方程等就是为了求变形，这变形还没求出来，何谈在变形后建立平衡方法呢。逻辑上就不行!好像很有说服力，但这个理由还不够哦，不是核心的理由。最本质的理由是因为，我们只知道变形前的边界条件，未能考虑变形对边界条件的影响。边界条件的改变才是根本的原因，只要有变形，边界条件也就变了，位置、方向、数值，至少有一个是变的。

　　几何方程图

　　笔者没找到三维的，拿个二维凑合。很多疑问和平衡方程的解答类似，物理方程没图。

　　经典解法的目录

　　  · 弹性力学问题在直角坐标系下解答，在极坐标系下解答。

　　  · 弹性力学问题的多项式解答，级数式解答，复变函数式解答等。

　　惊喜吧，总结教材目录，就得到以上两个，怎么可能记不住。

　　讨论：

　　1. 要是有通解就好了
　　一元二次方程的通解形式比较普及，其实一元三次方程也有通解，但一元四次方程却没有，也不是没有，只是目前还没有找到。某些形式的常微分方程也有通解形式，如果弹性力学的微分方程也存在通解形式那该多好，是的，可惜还没找到啊。不过，某些情况下的微分方程倒是也可以获得解析解，可是这得借助逆向思维或者半逆向思维，也就形成了逆解法和半逆解法。但是，更多的问题还是难以解析，独辟蹊径，所以数值解法就有了发展空间。数值解法计算量大，早期不能实用，但计算机的高速发展完全解放了数值解法。这个年代，可能已经没有人用以前的经典解法来求解弹性力学问题了，数值算法解放工程界。

　　2. 弹性力学没用了么
　　既然数值解法大行其道，经典解法已经无人使用，那么弹性力学是不是不重要了。没错，弹性力学的重要性真的被削弱了很多，新知识代替了旧知识。不过，数值解法的求解对象还是弹性力学方程，所以弹性力学的基础理论是无可替代的。这让笔者想到，在教授弹性力学这门课的时候，是否应该重概念和基础理论，而轻经典解法呢，毕竟真的没人用了。有些东西既然要退出历史舞台，又何必留恋呢，难道电脑还得用电子管造吗。

　　3. 弹性力学的意义
　　在弹性力学之前很多力学问题，不同的模型，有不同的解法，无法统一起来，各自为政。而弹性力学找到了它们之间的联系，让它们都遵循着一个理论，这是理论上的一个突破。比如钱伟长就有弹性板壳的内禀理论，统一了板壳理论的江湖。创造一个理论，找到以前不同理论的共同基础，就是理论界的一大突破，一统江湖就是最牛的。

　　板的力学假设

　　说来惭愧，笔者水平真是差，至今在用有限元软件求解薄板受压的时候，才留意到不打开几何非线性功能，求解基本是不对的。这是为什么呢。笔者先想象一下，不打开几何非线性，按以前的几何形状建立平衡方程，板受压，那么按照理论力学的合力分力知识，因为是90度，所以板面的内力必须是无穷大啊。是这样吗。遇到这种尴尬，笔者只好再翻开弹性力学教材看一看。

　　Kirchholff的薄板假设：

　　六个应变分量，三个为零。应变为零但应力不为零，这肯定不行，除非放弃相关物理方程;中面的应变都为零，这更加不可能，没有应变，中面怎么会由平面变成曲面，除非放弃正常人智商。是的，那就放弃吧，因为不可能，所以才叫假设。

　　为零的三个应变对应的三个应力，其中正应力称为挤压应力;切应力称为横向切应力，很小，可忽略不计。不为零的三个应变对应的三个应力，其中正应力叫做弯曲应力，切应力称为扭转应力。Kirchholff假设只适合薄板，对于厚板来说，则需要考虑横向切应力对挠度的影响，此时的理论则建立在Mindlin假设之上。与板相对应还有梁，梁的挠度也可以分为是否考虑横向切应力影响，这取决于梁的长度和宽度之比。

　　来源：诸子韩非子微信公众号(ID：goldenappletech)