理科生眼中的艺术——行波和驻波

weixin

　　行波，顾名思义就是行走的波。譬如郊游的熊孩子向湖面投掷一粒小石子，以小石子为圆心荡起了一圈圈涟漪，水波是往前推进的，水波的运动就是行波。

　　驻波，就是停滞的波。譬如，拨动吉他琴弦，琴弦上下振动，发出优美的音乐。但是琴两端是被琴桥和琴枕固定的，所以，琴弦只是在固定位置做上下振动，琴弦的运动就是驻波。

　　废话不多说直接pia图。

　　我们假设在一个无限长无限窄的水池里(简单说，无限窄是为了把水波想象成一条没有宽度的水线，无限长是为了让我们这条水线永远不会碰壁)中心安装一个能够以固定频率上下振动的振动仪，在平衡位置做正弦振动，导致在长轴双向形成了频率相同，振幅相同，方向相反的两列正弦波，分别为

　　如果在某个时刻对水波拍一张照片，则这一瞬间水波的形状就是正弦分布，如上图所示。

　　如果仅盯着波的某个位置(A点)一直观察，则该点的运行形式也是正弦信号。

　　好了，以上就是行波最简单的一种形式——简谐运动。

　　接着我们继续开脑洞，我们换个池子，换一个无限窄有限长的，我们将这个振动仪放在水池的一侧，在平衡位置做正弦振动，当振动仪产生的第一条水线“碰壁”以后，就会反弹回来，我们假设池壁只改变了该水线的方向，并没有产生能耗。折返回来的水线会与后来的水线“遭遇”然后“合体”，成为驻波本波。

　　还是老规矩，有图有真相。话不多说，来到我们最喜欢，好吧，是我最喜欢的环节，推公式。夺命三连问：

　　初级版：

　　两列振幅、频率、初相位相同，方向相反的简谐波的叠加

　　可得出：

　　这个公式很熟悉，对吧，就是推泛音的公式。所以泛音就是多列振幅、频率、初相位相同、方向相反的简谐波的叠加。

　　进阶版：

　　两列频率、振幅相同的简谐波的叠加

　　可得出：

　　同样是驻波公式的进阶版，只要知道两列行波的初始相位即可得到该驻波公式。接下来我们看一下行波合成驻波的合成动态图，帮助我们更加直观感受到驻波的合成效果。


　　高级版：

　　两列频率相同的简谐波的叠加，是否还能产生驻波呢?

　　令

　　故

　　可得出：

　　由公式可以看出还是一个行波的公式，但并非一个常规的行波公式，因为该叠加波的振幅(下式)不随时间变化，但是随着位移的变化而变化。

　　最后我们看一下该行波的合成动态图，现在是不是对驻波和行波的关系有了更加直观的了解了?


　　来源：了一阁微信公众号(ID：lz838076713)，作者：别扭青年。