可靠性分析——响应统计矩与概率密度函数

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　　考虑一个结构，其振动方程如下

　　其中，c与k分别是阻尼系数与刚度系数。W(t)是一个外部激励，通常我们也叫激励作用。这个W(t)是随机发生振动的，没有规律性，但它的一阶矩(也称期望)为0，二阶矩(也称相关函数)是一个与时间无关的常数

　　。因此，自相关函数(方差)为

　　，它描述了这个随机激励的统计强度。这样的一个外部激励就是典型的平稳高斯白噪声激励。

　　很显然，这个结构属于线性非保守体系。所谓非保守体系，是指结构与外部作用发生能量转变从而造成结构对外部作用产生响应。现在，要求在这个随机激励下体系的位移或速度的概率密度函数。

　　在随机振动里，会对此有一个详细的推导过程，得到平稳位移反应的期望是0，方差是

　　。而且，位移的概率密度函数也服从高斯分布。因此，它是属于从统计矩角度来得到概率密度函数的。

　　另外一种通用的方法是采用蒙特卡洛模拟。蒙特卡洛模拟法是将这个随机激励用大数样本描述出来，即用计算机生成很多个样本数(通常10^6)，它们服从上述高斯分布，然后再将这些样本带入系统运动方程中，通过四阶龙格-库塔程序计算该微分方程的解，然后将每一个样本在同一时刻(达到平稳状态后的任意时刻)对应的位移提取出来，将位移区间分成若干个子区间，然后统计每一个子区间内所含的样本数量，除以总样本数量和子区间步长，就得到了位移响应的概率密度函数。该方法是通用方法，可以用来计算随机振动的大部分问题。缺点是计算效率低下，计算一个单自由度的非线性体系需要10分钟左右，需要产生大量随机数，对计算机要求较高。

　　具体详细的编程需要研究人员使用编程软件完成。